“雞兔同籠”問題的解法探討

摘 要：“雞兔同籠”問題是我國古代數學趣題之一，也是當今小學數學課外活動專題之一。在小學階段，應結合小學生已有的知識基礎和生活經驗，對“雞兔同籠”類數學題進行多角度的解法探討。

關鍵詞：小學數學；雞兔同籠問題；解法探討

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2009）03-0050-02

“雞兔同籠”問題是我國古代趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話用現代數學語言說意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。求籠中雞和兔各有幾只？

這就是雞兔同籠問題，通常情況下，人們喜歡用假設法來解答此類問題。假設法是一種常用的解題方法，用假設思想解應用題，首先要根據題意正確地判斷應該怎么假設（一般可假設要求的兩個或幾個未知量相等、或者假設要求的兩個未知量是同一種量）；其次，要根據所作的假設，注意到數量關系發生了什么變化，怎樣從所給的條件與變化了的數量關系的比較中做出適當的調整，從而找到正確的答案。

解法一：假設他們全是雞，根據雞兔的總數就可以算出在假設條件下一共有幾只腳，把這樣得到的腳數與題中給出的腳數相比較，看看差多少，每差兩只腳就說明有一只兔，將所差的腳數除以二，就可以先算出一共有多少只兔，進而算出有多少只雞。

兔子的只數：（９４－３５×２）÷（４－２）＝１２（只）

雞的只數：３５－１２＝２３（只）

解法二：假設它們全是兔，則應有４×３５＝１４０（只）腳，現在有９４只腳，少了１４０－９４＝４６（只）腳，原因是把雞全都假設成了兔子，一只雞比一只兔子少２只腳，所以，雞的只數就可以求出來了。

雞的只數：（４×３５－９４）÷（４－２）＝２３（只）

兔子的只數：３５－２３＝１２（只）

解法三：運用假設法解題邏輯思維性較強、比較抽象。我們還可以運用列表枚舉法來解答此類問題。

從上表的枚舉可以看出兔子有12只，雞有23只。

解法四：列表枚舉法雖然形象、易懂，但很麻煩，運用方程法來解答更簡略些。

1） 解：設兔子有x只，則雞有３５－x只，則兔腳有４x只，雞腳有２×（３５－x）只，依據題意得：

４x+２×（３５－x）=94

解得x=12 35－12=23（只）

所以兔子有12只，雞有23只。

2） 解：設雞有x只，則兔有３５－x只，則雞腳有2x只，兔腳有4×（３５－x）只，依據題意得：

2x+4×（３５－x）=94

解得 x=2335－23=12（只）

所以雞有23只，兔子有12只。

解法五：雞兔同籠問題一般都是用以上幾種解法來解答，思維的角度是用算術、方程，能否把雞兔同籠問題轉變成一道更加直觀、形象、容易解答的幾何圖形題呢？我們來看這樣一個圖形：

圖形中AB＝３５，BC＝２，AF＝４，圖形AHEF和圖形HBCD的面積和為９４，求AH＝？HB＝？

這道題就是雞兔同籠問題的一種幾何圖形表達形式，AH為兔子的只數，HB為雞的只數，AB表示雞兔共有３５只，BC＝２表示每只雞有２只腳，AF＝４表示每只兔有４只腳，圖形AHEF和圖形HBCD總面積為９４表示雞兔共有９４只腳。最后求AH＝？即兔有多少只？HB＝？即雞有多少只？

這道題巧妙地應用了長方形的面積＝長×寬。

兔的只數×每只兔４只腳 ＋ 雞的只數×每只雞２只腳 ＝ 雞兔共有９４只腳

AH × AF ＋ HB × BC = 94

長方形AHEF的面積 ＋ 長方形HBCD的面積= 圖形總面積為９４

延長CD交AF與G，在長方形ABCG中，已知AB的長度和BC的長度，則長方形ABCG的面積很容易求出，長方形AHEF和長方形HBCD的面積和已知，減去長方形ABCG的面積，那么可以求出長方形GDEF的面積，由于GF=GA=BC=2，在長方形GDEF中，已知面積和GF的邊長，EF可以求出，EF＝AH，已知AB的長度，則HB也可以求出，這樣，AH即兔有多少只，HB即雞有多少只即知。

解：在圖形中線段AH表示兔有多少只，HB表示雞有多少只，總面積９４表示雞兔共有９４只腳，BC表示每只雞有２只腳，AF表示每只兔有４只腳，延長CD交AF與G，在長方形ABCG中，AB＝３５，BC＝２，則長方形ABCG的面積：３５×２＝７０，長方形AHEF和長方形HBCD的面積和為９４，則長方形GDEF的面積的面積：９４－７０＝２４。由于GF=GA=BC=2，所以EF＝２４÷２＝１２，EF=AH，則AH＝１２，即兔有１２只，HB＝３５－１２＝２３，即雞有２３只。

對于要同時考慮兩個因素的類似“雞兔同籠”問題的一些應用題，如果用長方形的長和寬分別表示兩個不同的因素，畫出長方形來，再利用長方形的面積進行分析，往往解題思路十分快捷。

“雞兔同籠”問題的解法是多種多樣的，從不同的思維角度往往能探索出更新的解法，從而滿足不同學生的發展需要，大家不妨一試。

【責任編輯 高潔】