基本圖形在數學解題中的巧用

眾所周知，數學中有許多的基本圖形，如線段、數軸、圓、正方形、雙曲線等，這些基本圖形蘊涵著許多重要的基本性質，不僅如此，這些基本的圖形所呈現的數學語言還具有確定性、簡潔性及抽象性等特點，具有著其它語言不可替代的優越性。它們不僅跟文字一樣具有記錄作用，有利于形象記憶，也有思想交流的功能；其豐富的表象，往往有助于我們清楚地分析題中的數量關系，起到化繁為簡、化難為易的良好效果。

1.巧用線段圖解題

例1：甲、乙兩列火車同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地75千米處相遇，相遇后兩列車繼續前進，到達目的地后又立即返回；第二次相遇在離B地55千米處，求A、B兩地的路程。

分析與解：本題屬行程問題，涉及路程、速度、時間三個基本量，直接利用這三種基本數量關系去求解問題比較困難；把A、B兩地看成一條線段的兩個端點，構造線段圖來輔助分析問題。

由上圖中，用實線、虛線分別表示甲、乙兩列火車的行程，就可以看出甲、乙兩列火車第一次相遇共合走一個全程。在第一次相遇時，甲車行了75千米。從第一次相遇到第二次相遇，兩車一共行了三個全程，那甲車就行了三個75千米，即225千米。從線段圖中，我們還可以知道甲車一共行了一個全程多55千米，因此用225千米減去55千米就是A、B兩地的路程，即A、B間的路程為170千米。

一幅簡簡單單的線段圖，把看似復雜、難以理解的數量關系揭示得清清楚楚，通過直觀的觀察及簡單的計算就解決了問題。

延伸：線段圖也常用于解決幾何數學中的計數問題、應用題中的工程問題等。

2.巧用數軸來解題

例2：方程|x-2|+|x-3|=1的實數解的個數有（ ）。

A.2個 B.3個 C.4個 D.無數個

分析與解：在數學教學中，我們經常發現：學生會用分段討論的方法來求解方程，比如從x＜2，2≤x≤3，x＞3三種情況一一討論，先去絕對值符號再求解方程。由方程左邊的式子的結構特征，我們容易聯想到數軸上兩點間的距離公式，若實數x、x分別對應數軸上的兩點A、B，則|x-x|=|AB|，即兩個實數之差的絕對值等于它們在數軸上所表示的點的線段的長，借助數軸直觀解釋|x-2|+|x-3|=1的幾何意義為：數軸上表示數x的點到表示數2、3的兩點的距離之和為1。

由圖形可知，與表示數2、3的點的距離之和為1的點位于表示數2、3的兩點之間，區間［2，3］內的所有點均符合條件，故選D。

一條數軸，一個學生十分熟悉又簡單的幾何圖形，把本要分若干情況一一去討論求解的問題，進行了形象化的處理，十分容易地找到了方程的解。

延伸：代數式的化簡、不等式（組）的求解等問題，也常用數軸來輔助分析解決。

3.巧用輔助圓來解題

例3：已知a是一個銳角，試比較sinα、cosα的差與1的大小。

分析與解：本題中如果α是一個特殊的角，如α=30°，則學生可通過具體的計算來比較，但本題α的大小未確定，故通過直接計算來比較大小有困難。取一單位圓，根據三角函數定義可知：

sinα=，cosα=

∴sinα-cosα=

顯然PM-OM＜PO，

∴sinα+cosα＜1。

從上可知：通過構造單位圓這一基本圖形，把原本看似很難入手的大小比較問題，轉化為用三角函數的定義來分析比較，從而使問題獲得順利解決。

延伸：輔助圓分析法也常用于三角函數求值、公式推導與證明等問題。

例4：體育委員在班會上統計核對參加運動會的人數：“哪些人參加長跑項目的？”這時有15人舉手；“哪些人參加跳遠？”這時有13人舉手；“哪些人參加投擲的？”這時有14人舉手；“哪些人長跑、跳遠兩個項目都參加的？”舉手的有4人；“哪些人跳遠、投擲兩個項目都參加？”舉手的有5人；“哪些人是跑步、投擲兩個項目都參加的？”舉手的有6人；“哪些人是三個項目都參加的？”舉手的有2人；“哪些人參加本次運動會比賽的？”舉手的有28人，請你檢查一下，體育委員的統計是否有誤？

分析與解：本題由于題中涉及的數據較多，數量關系較為復雜，一時難以理清楚。由已知條件，用韋恩圖來表示：A、B、C分別表示參加長跑、跳遠、投擲的人數，從圖中可知：

A、B的重合部分為a，B、C的重合部分為b；A、C的重合部分為c，A、B、C的重合部分為x；參加比賽的總人數可表示為：

A+B+C-（a+b+c）+2x=15+13+14-4-5-6+2×2=31（人），與兩題中已知參加比賽的共28人不一致，故體育委員的統計有誤。

以圓為基本單位的韋恩圖表示法，具有形象、直觀的特點，它能幫助深刻地理解題意，理清不同對象間的多種數量關系，使看似繁雜的問題變得簡單。

延伸：在概率的計算、處理集合等問題時，我們也常借助韋恩圖來分析解決。

4.巧用矩形圖來解題

例5：求代數式++++…+的值（結果用n表示）。

分析與解：當n為2、3、4等一些相對較小的數值時，代數式的求值可通過直接計算進行；考慮到題中n值未定，用直接計算的方法求代數式的值顯然有困難；作一邊長為1的正方形，按圖示進行一次一次分割，由圖示易知：

一次分割：=1-

二次分割：+=1-

三次分割：++=1-

……

n次分割：+++…=1-

本題借助于正方形，利用數形結合，巧妙地把一個數學難題轉化為可以直觀求解的圖形分割問題，并利用圖形中隱藏的圖形變換規律以實現問題的解決。

延伸：矩形圖在數學公式的推導、法則的證明等方面（如平方差公式、完全平方公式、多項式乘法法則等）也有廣泛的應用。

5.巧用曲線圖解題

例6：方程=x-x-2的正數解有（ ）個。

A.0 B.1 C.2 D.3

分析與解：本題若要通過正面求解方程來確定正數解的個數，既繁又難。注意到方程左邊是，右邊是x-x-2，如果轉化成圖形語言，構造雙曲線y=（x＞0）及拋物線y=x-x-2，如右圖所示，那么可知在第一象限內，拋物線與雙曲線的交點有且只有1個，即方程的正數解有且只有1個，故選B。

函數圖像能直觀地刻畫變量間的對應關系，進而反映出函數的有關性質。本題運用函數圖像來解決方程的解的問題，形象、生動、簡便。

延伸：曲線圖在處理日常生活、數學中的函數與方程、函數與不等式等問題上也常有廣泛的應用。

數學基本圖形眾多，不同的圖形有不同的性質，呈現的是不同的數學語言，體現的是各自特有的圖形功能。在數學解題教學中，從已知條件的數字特征、代數式的特點及特定的數量關系等角度去充分挖掘它們所具有的幾何意義，引導學生借助數學基本圖形的形象性、直觀性來解題，不僅有助于激發學生的學習興趣，提高學生的解題效率，而且對發展學生的數學思維能力、培養學生的創新意識也具有重要的現實意義。

參考文獻：

［1］何軍.淺談圖形語言在解題中的應用.數學通報，2008，（7）.

［2］馬小為.中學數學解題思想方法技巧.陜西師范大學出版社，2006.11.

［3］林花玉.數軸應用于解題例析.中學數學研究，2008，（7）.