數學概念的教學要重視學生的理解

1.問題的提出

高中數學中概念較多，它是現實世界中空間形式和數量關系的特有屬性在思維中的反映，正確理解數學概念是掌握數學基礎的前提，是學好數學定理、公式和掌握數學方法，提高解題能力的基礎。然而，我們在教學中卻經常發現學生上課似乎知道了概念，但用于解題時卻屢屢出錯，其根源是教學中沒能足夠重視對概念的理解。

認知心理學把數學理解描述為，數學學習的內容“成為個人內部網絡的一部分”，強調在心理學上能組織起適當的有效的認知結構。對于數學概念的理解而言，理解的更樸素認識通常是：能夠辨別概念的本質屬性和非本質屬性，能夠概括表示為定義，能夠舉出概念的正反例子，如果還能用所接受到的概念去解決其它問題，那么會理解得更好、更深、更透了。在此我結合自己教學實踐，就怎樣幫助學生正確理解數學概念談談自己的體會。

2.問題的解決

（1）在概念的引入中利用實際背景幫助學生直觀地理解概念。

數學概念的引入，應從實際出發（教材的實際、學生的知識水平及年齡實際、生活和生產實際等），從問題入手（直觀具體的、本學科的、跨學科的），通過與本概念有明顯聯系、直觀性強的實際例子，使學生在對直觀、具體問題的體驗中感知概念，由知覺到感覺，形成感性認識，幫助學生直觀地理解概念。

例如在引入“棱柱的概念”時，我請學生觀察桌面上的鉛筆（豎著）、橡皮擦、課本，以及長方體與五棱柱、六棱柱模型等，然后提問：“是否注意到了它們在形狀上都有什么共同的特點？”學生觀察時，我規范地畫出五棱柱、六棱柱的直觀圖。觀察交流后，讓學生總結其共同特征（必要時可發問：是否需要修改）：有兩個面互相平行、其余各面的交線也互相平行，因此，各個面為平行四邊形。再如“導數的概念”的教學，我通過研究增長率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導數應用的實例，引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，知道瞬時變化率就是導數，通過感受導數在研究函數和解決實際問題中的作用，體會導數的思想及內涵。這樣處理的目的是幫助學生直觀理解導數的背景、思想和作用，從而幫助學生直觀地理解導數的概念。

（2）在概念的形成過程中幫助學生理解概念。

荷蘭數學家弗賴登塔爾說過：“真正的數學學習是‘再創造’。”數學新課程標準也指出：“高中數學教學應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質，數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生的自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態。”

不少學生對新教材中向量和的概念不能理解。在實際教學中我是這樣處理的：先提出問題：“河中水流自西向東每小時20公里，小船自南岸沿正北方向行駛，每小時40公里，問該小船的實際行駛方向及速度的大小。”進而舉出如下例子：“如果一個質點由點A位移到點B，又由點B位移到點C，那么從A點到C的位移就是質點從A到B，再從B到C兩次位移的和。”最后寫出向量的和的定義。這樣處理數學概念，就是先給出問題，給出基本事實，引導學生從問題出發，分析、抽象、概括出數學概念，讓學生自己去經歷發現再創造的過程，這樣做符合學生的認知規律。

（3）在概念的系統化中理解和鞏固概念。

學生學習數學概念時總是從他原有的認知結構，即從過去的經驗出發，去認識、理解和區分事物的各種聯系和性質。學生過去的經驗既包括日常生活經驗，又包括在學校數學課中已獲得的知識、技能，它是保證學生順利掌握數學概念的重要條件和學生心理活動的必要前提。因此，在概念的系統化中學習概念有助于學生理解概念。

如在“異面直線的角”教學中，我通過創設問題情境“異面直線怎樣刻劃位置關系”引導學生主動探究，讓學生主體在教師引導下主動生成“異面直線的角”的概念，從而使新的概念與學生的原有概念形成了系統教學設計：

師：平面上兩直線所成角的定義是什么？

生：是指平面上兩直線所成的銳角或直角。

師：這個定義有何用處呢？

生：可用來刻畫平面內兩直線的相互位置關系。

師：很好，平面內的兩條直線所成角度給定則它們的相互位置關系就可以看出來了，大家還有意見嗎？（學生不語）

師：如是兩條異面直線那怎樣來刻畫它們的位置關系呢？

（學生陷入了思考）

生：也可以用角來刻畫。

師：異面直線不相交，哪里來的角度？

生：可以轉化到平面中去。

師：怎樣轉化？（讓學生討論交流）

（若干分鐘后）

生：直線a，b是異面直線，過空間任意一點o，分別引a′∥a，b′∥b，由于a′和b′所成的角的大小與o的選擇無關，因此可以把a′和b′所成的銳角或直角稱為異面直線a與b所成的角（也可稱為夾角）。

師：這樣我們就可以來刻畫異面直線的位置關系了。

從這里可以看出，以“異面直線怎樣刻劃位置關系”作為問題情境，學生探索的過程中在教師引導下主動建構出“異面直線的角”，新概念與學生原有概念形成了系統，完全符合學生認知規律，對概念的理解也顯得清新、自然，又充滿情趣。

（4）用多種數學語言的轉化來幫助學生理解概念。

數學概念反映的是客觀事物的空間形式與數量關系方面的本質屬性，是用數學語言揭示事物的共同屬性即本質屬性的思維形式。數學概念一般包括概念的名稱（符號）、定義、屬性、例子四個方面。這些都要用數學語言來描述，數學語言是來自于自然語言的人工符號語言，具有高度的抽象性，所以學生往往是通過相對具體的語言符號來學習數學概念的。例如，學習“圓”這一概念，學生首先必須說“圓”，然后把圓的圖形刺激和語言的“圓”形成聯結，明了“這樣的圖形是圓”，最后根據圓這一概念的本質屬性把它與其它概念（如正方形、三角形）區分開來。教學實踐表明，凡是能用自己的語言正確復述概念的定義和準確解釋概念所揭示的本質屬性的學生，對概念的理解就深刻。因此，我們在進行概念教學時應重視概念的語言表達，尤其要注意引導學生用多種角度的數學語言來描述概念，這能使學生對概念理解得更全面、更深刻。例如，講解“線面平行”這一概念的時候，我引導學生從圖形語言、文字語言、代數符號語言三種角度來理解，學生很快便正確地理解了這一概念。

（5）揭示概念的本質，幫助學生深化對概念的理解。

形式化是數學的基本特征之一。在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達，要強調對數學本質的認識，否則會將生動活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里，概念的學習也是如此，只有揭示本質才能使學生對概念理解得更透徹更深刻。例如常州市2009年的高一期中考試試題有一道是：已知M={y|y=x2-2x+1，x∈R}，N={y|y=x+3，x∈R}，求M∩N。（選擇題）許多學生做錯了，而我任教的兩班學生做得還可以，得分率超過了80%。我想主要原因就是在集合單元教學時我注意了引導學生看集合要看本質，即要看清是數集還是點集，因此學生對集合這一概念理解得就比較好。

（6）在應用中幫助學生理解和鞏固概念。

數學概念形成后，我們應嚴格地逐字逐句地描述、審核定義，通過具體例子說明概念的內涵，認識概念的“原型”，必要時通過反例、錯解等進行辨析，來鞏固概念，引導學生利用概念解決數學問題和發現概念在解決問題中的作用。只有這樣，才能使學生自覺地把所學的概念及時納入到相應的概念體系中去，這是數學概念教學的重要環節。此環節操作的成功與否，將直接影響學生對數學概念的理解和鞏固，以及解題能力的形成。

例如，對于棱柱，①結合教師所畫直觀圖，請學生逐一說出相應的名稱；②教師展示模型（底面是等腰梯形的四棱柱，但把較大的側面置于桌面上）并問：這個幾何體是棱柱嗎？為什么？（變換視角判定：是）

又如，得到直線的斜率公式后，我推出題組：

①直線過原點和點（-1，-1），其斜率和傾斜角是多少？

②設直線L過點A（2m+3，m），B（m-2，1），當m為何值時，直線L與x軸平行？當m為何值時，直線L與y軸平行？③設點M（-4，3）、N（2，15），若直線L的傾斜角為直線MN的一半，則L的斜率是多少？

通過這三個問題的解決，學生既加深了對數學概念（傾斜角、斜率）的認識，又提高了認知水平和實際操作能力。

參考文獻：

［1］普通高中數學課程標準（實驗）.人民教育出版社.

［2］羅增儒.數學理解的幾個案例.中學數學教學參考，2002，3.