完美運用向量簡化計算

平面向量由于融數、形于一體，具有幾何與代數的“雙重身份”，因而成為高中數學中銜接代數與幾何的紐帶，是數形結合的典范。向量法在高中數學解題中有著廣泛的應用，它是中學數學知識的一個交匯點和聯系其他知識點的橋梁，運用平面向量可以大大拓寬解題的思路。

在平面解析幾何中，我們經常會運用韋達定理等設而不求的方法來簡化計算，若能充分利用平面向量這一工具可以更大程度地簡化計算。本文以一個平面解析幾何問題的解決為例來說明平面向量在平面解析幾何中簡化計算的應用。

問題：已知圓C：（x-3）+（y-4）=4，直線l過定點A（1，0），且與圓C交于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，l與l：x+2y+2=0的交點為N，判斷AM·AN是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由。

常規解題思路：

設出PQ的直線方程，聯列方程組求出P，Q，N點的坐標，可求出點M的坐標，求出AM，AN的長度，計算AM·AN并化簡。

具體解題過程：

當PQ的斜率不存在時，PQ的直線方程為x=1，與圓C相切，不符合條件。

所以PQ的斜率存在，設為k，則PQ的直線方程為y=k（x-1）。

由y=k（x-1）（x-3）+（y-4）=4得（k+1）x-（2k+8k+6）x+k+8k+21=0，

Δ=（2k+8k+6）-4（k+1）（k+8k+21）＞0，

由韋達定理可得PQ中點M坐標，。

由y=k（x-1）x+2y+2=0得點N坐標，，

所以（AM·AN）=-1++-1+。

通過復雜的計算化簡可得：（AM·AN）=36，所以AM·AN為定值6。

從上面的解題過程可以感覺到計算的繁瑣，要想化簡正確，對于大多數學生來說實在困難。若我們采用向量就可以簡化很多。

∵A，M，N三點共線，，共線，方向相反，

∴AM·AN=-·。

AM·AN=-·=-，·，

=·+·

=+=6。

通過向量數量積來解決可以避免運用復雜的距離公式和難以把握的化簡計算。再考慮一下，是不是可以連坐標都不計算？

從圖中可以看出，=+，而與垂直，

∴AM·AN=-（+）·=-·

=-（2，4）·，

=+=6。

由此，也不用求M點的坐標。那么是不是N的點坐標也不用求？

∵k=-，k=2，

∴AC⊥l。

設直線l與x軸交于點R（-2，0），

則=+，

∴AM·AN=-（+）·

=-·（+）=-·

=-（2，4）·（-3，0）=6。

通過充分利用向量，我們將一個復雜的計算轉化成了一個純粹的向量運算，而且是利用一些已有的點，從而不用設直線方程，更不用求點，真正做到了不設也不求。此問題的解決，不能不說是完美運用向量這個工具的典范。因此，在解析幾何中充分運用向量，會取得意想不到的效果。