一道二次函數最值題的易錯點簡析

摘要二次函數學習與實際問題聯系緊密，其中最值問題又是在解決實際問題中最常見的題型。本文通過一道數學題，對解答過程中出現的一些易錯點進行簡單陳述。

關鍵詞二次函數最值易錯點

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

二次函數學習與實際問題聯系緊密，其中最值問題又是在解決實際問題中最常見的題型。然而在實際審題的過程中，忽視一些細節的變化，往往會導致整個解題思路走上“歧途”，叫人惋惜。現就我在教學中遇到的一道數學題，學生在解答過程中出現的一些易錯點進行簡單陳述，供參考。題目如下:

在兩根高20米(指電線與電線桿連接處到地面的距離為20米)水平距離100米的電線桿間架設電線，電線懸掛所成的曲線近似地看成與二次函數y=x2的圖像相同。規定:在通常情況下電線距地面豎直距離大于16米時視為安全距離。

(1)在水平地面上架設間距為100米的電線是否符合安全標準，試說明理由;

(2)如果將電線架設在坡比為1﹕20的斜坡上，水平距離仍為100米，且保持電線懸掛成的曲線與二次函數y=x2的圖像相同時，是否仍然符合安全標準，請用相關數據來作具體說明。

在本題中，首先是根據實際需要建立恰當的直角坐標系，把實際問題轉化為數學模型，在這里就不再細說了。

在問題1中我們自然而然地想到拋物線的最低點距地面的距離最近，是否安全就看這點到地面的距離大小了。

建立如圖1所示的直角坐標系，由題目已知條件可得:A(0，20)，B(100，20)

圖1

設二次函數的解析式為y=x2+bx+20

把B點坐標代入解析式，有20=10+100b+20

b=∴二次函數的解析式為:y=x2x+20

當時，ymin=>16，

因此架設的電線是符合安全標準的。

在問題2中，同學們注意到了圖像位置的變化，建立如圖2所示的直角坐標系:

圖2

由已知得，=100∴=5

有:(100，25)，(100，5)

設二次函數解析式為:

y=x2+dx+20

把B點坐標代入解析式，有25=10+100d+20d=

∴二次函數的解析式為:y=x2x+20

學生往往會受第1題影響，將拋物線的最低點到水平地面的距離求出，如圖3，得出誤論1:

當時，=>16(即) E(25，)

圖3

從而得到架設的電線是安全的。

也有學生細心觀察，知道在斜坡上，如圖4，有誤論2:

圖4

F在斜坡上，應減去的長，

設OC的直線解析式為:

把C點坐標代入解析式，得到:

有

F點的橫坐標為25(與E點橫坐標相同)，有∴

有這樣的結論:架設的電線是安全的。

從本題的最終結果來看，架設的電線是安全的，但依據的數據是不可靠的。

那么問題出在哪里呢?我們回過頭來看題目，就會發現地面由水平變成斜坡的變化中，豎直方向上的(下轉第126頁)(上接第113頁)距離最近問題在水平位置和傾斜位置時是不一樣的。分析如下:

如圖5，在水平情況下，我們可以這么看:

把地面所在的直線向上平移，當直線與拋物線相切于點E時，其余的點都在這條直線的上方，于是E點所處的位置就是最 低的點，離地面也就最近了。

圖5

如圖6，我們可以從這個角度看問題:

在豎直方向上的直線與拋物線和斜坡所在直線分別相交與H、K，令H的坐標為(x，y1)，K的坐標為(x，y2)，(HK//Y軸，兩點橫坐標相同)由所學知識我們得知:

其中H點在拋物線

上，有

K點在直線上，有

于是有等式:

由二次函數的性質可得:當時，，即>16，由此可知在斜坡上架設的電線是安全的。

圖6

通過本題的簡單敘述，只是想讓同學們在日常作業和答題中注重對題目深入細致的研究和推敲，理論聯系實際，多動手動腦，“細節決定成敗”。