構(gòu)造模型，巧解三角題

所謂構(gòu)造法，就是根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征、性質(zhì)，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，借助于該數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題的方法。

怎樣構(gòu)造呢？當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題使用通常辦法按定勢(shì)思維去解很難奏效時(shí)，我們應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)展開聯(lián)想，常是從一個(gè)目標(biāo)聯(lián)想起我們?cè)?jīng)使用過可能達(dá)到目的的方法、手段，進(jìn)而構(gòu)造出解決問題的特殊模式，就是構(gòu)造法解題的思路。

常用的數(shù)學(xué)模型有：函數(shù)模型、方程模型、三角模型、對(duì)稱模型、對(duì)偶模型、幾何模型等。現(xiàn)舉例說明：

例1：求cos 10°+cos 50°-sin40°sin80°的值。

分析：因?yàn)閏os10°=sin80°，cos50°=sin40°，且40°+80°+60°=180°，所以可以構(gòu)造幾何模型來解決；又因?yàn)閏os10°，cos50°也是對(duì)稱的，所以可通過構(gòu)造二元對(duì)稱來解決。若注意到cos 10°+sin 10°=1，cos 50°+sin 50°=1，可利用對(duì)偶模型來處理。

解法1：構(gòu)造△ABC，使∠A=40°，∠B=80°，∠C=60°，

由余弦定理得sin C=sin A+sin B-2sinAsinBcosC，

所以sin 60°=sin 40°+sin 80°-2sin40°sin80°cos60°，

即cos 10°+cos 50°-sin40°sin80°= 。

解法2：令cos10°=a+b，cos50°=a-b，

a= （cos10°+cos50°）=cos30°cos20°= cos20°，

b= （cos10°-cos50°）=sin30°sin20°= sin20°，

所以原式=cos 10°+cos 50°-cos50°cos10°

=（a+b） +（a-b） -（a-b）（a+b）

=a +3b

=（ cos20°） +3（ sin20°） = 。

解法3：令A(yù)=cos 10°+cos 50°-sin40°sin80°，B=sin 10°+sin 50°-cos40°cos80°，

則A+B=2-cos40°，

A-B=cos20°+cos100°+cos120°

=2cos60°cos40°+cos120°=cos40°- ，

由以上兩式消去B，得A= 。

例2：已知x，y∈- ， ，a∈R，且x +sinx-2a=04y +sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值。

分析：看到此題會(huì)有無從下手之感，因?yàn)橐阎膬蓚€(gè)等式中既含有代數(shù)式x 和4y ，又含有超越式sinx和sinycosy。這時(shí)可以這樣來分析：已知條件是通過參數(shù)a將x，y聯(lián)系在一起的，由題設(shè)消去a，得

x +sinx=（-2y） +sin（-2y），①

①式的兩邊具有相同的表現(xiàn)形式，因此，可構(gòu)造函數(shù)f（t）=t +sint。由①得

f（x）=f（-2y）。

又因?yàn)閒（t）在- ， 上是增函數(shù)，所以x=-2y，即x+2y=0。

所以cos（x+2y）=1。

例3：求函數(shù)y= 的最大值和最小值。

分析：注意到y(tǒng)= 可以看成是P（2，1）與單位圓上一點(diǎn)Q（cosx，sinx）連線的斜率，當(dāng)過P點(diǎn)的直線與單位圓相切時(shí)y達(dá)到最大值或最小值。

設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為y-1=k（x-2），代入單位圓的方程x +y =1，整理得到（1+k ）x +（2k-4k ）x+4k -4k=0，△=（2k-4k ） -4（1+k ）（4k -4k）=-12k +16k≥0，解得0≤k≤ 。所以函數(shù)的最大值為 ，最小值為0。

例4：已知函數(shù)y=sinx+ ，求函數(shù)的最大值和最小值。

分析：注意觀察sinx和 的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)sin x+（ ） =2，

則可令sinx= cosθ = sinθ（ ≤θ≤ ）。

這樣，y= cosθ+ sinθ=2sin（θ+ ）。

因?yàn)?≤θ+ ≤π，0≤sin（θ+ ）≤1，所以函數(shù)的最大值為2，最小值為0。