廣義極小值Ｐａｒｅｔｏ分布的理論分析

摘 要 極端低溫氣候事件的接連發生使人們試圖對這些極值事件做出精確的判斷和預測，本文利用廣義極大值Pareto分布理論，結合極大似然估計的方法，推導出廣義極小值Pareto分布的理論模型，無論在理論上還是在應用上都具有一定的價值。

關鍵詞 廣義極小值 Pareto分布 閾值 極大似然估計

中圖分類號:O13 文獻標識碼:A

令x1，x2，…xn是一列獨立的隨機變量，具有共同的分布函數F。很自然的可以認為序列xi的極值事件為超過某閾值u的事件，通過定義x來代替序列xi中的任意一項，則通過下面的條件概率同樣可以描述極值事件的隨機性，

p{x>u+y|x>u}=， y>0

如果母體分布F未知，則閾值超出量分布函數同樣能夠被近似求出，在實際應用中，當母體分布未知時，我們一般利用廣義極值分布族來近似刻畫一個序列中最大值的分布。下面我們看一下廣義極大值Pareto分布的有關內容:

定理1 令x1，x2，…xn為一列獨立隨機變量序列，具有共同的分布函數F，令Mn=max{x1，x2，…xn}，假設F滿足極值(Fisher-Tippett theorem)定理，則當n充分大時，p{Mn≤z}≈G(z)，其中

，

以及{x:1+€%g(x-€%e)/€%l>0}。各個參數滿足:-∞<€%e<∞，則對一適當的€%e，當X-€%e時，的分布函數可以近似表述為H(y)=1-，其中{y:y>0和(1+€%gy/€%l)>0}，上述分布就稱之為廣義極大值Pareto分布

如果€%g=0，我們可以理解為€%g→0時H(y)=1-的極限情形，即H(y)=1-。

基于以上結論，我們可以得到下面廣義極小值Pareto分布的情形，該分布在冬季低值溫度破紀錄事件的預測以及干旱區極小降水量等領域方面有著一定的作用，我們將主要結果概括為下面的一個結論:

定理2 令x1，x2，…xn為一列獨立隨機變量序列，具有共同的分布函數F，令Mn=min{x1，x2，…xn}，假設F滿足定理(Fisher-Tippett theorem)定理，則當n充分大時，p{Mn≤z}≈G*(z)，

其中

左邊圖1主要是是44年數據的頻率直方圖，然后利用傳統的方法，高斯分布對其進行模擬，模擬的高斯分布函數為y=，從圖1上看還是比較貼近原始數據的，但是從后面兩個圖對比中我們可以看出廣義極小值Pareto分布模型具有更好的優越性，其中閾值為1。6℃，€%g和€%l的參數估計分別0.000和1.5438，分位點圖上的數據點除一個點離直線比較遠外，其它點基本都在直線上，可見擬合的還是非常好的，而高斯分布與經驗分布函數的值對比，很明顯看出與直線是有一定偏離的，說明利用傳統的高斯分布來研究極端溫度還是有些局限性的，而利用廣義極小值Pareto分布模型則能很好地體現低溫的分布情況。

參考文獻

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