恒成立問(wèn)題中參數(shù)范圍的求解策略

含參數(shù)的恒成立問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一類重要題型，也是高考命題的熱點(diǎn)問(wèn)題。這類問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣，要求有較高的解題技巧，因此它又是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)問(wèn)題。下面談?wù)勥@類問(wèn)題的求解策略，供大家參考。

一、分離參數(shù)——最值法

當(dāng)問(wèn)題中主元與參變?cè)芊蛛x時(shí)，可進(jìn)行分離參數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求輔助函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決。

例1：已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），且在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)θ∈R，求使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）>f（0）恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：由f（x）是R上的奇函數(shù)可知f（0）=0，得 f（cos2θ-3）>-f（4m-2mcosθ），從而得f（cos2θ-3）>f（2mcosθ-4m），因?yàn)閒（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，所以cos2θ-3>2m（cosθ-2）。∵θ∈R，∴cosθ-2<0，∴m> 對(duì)于任意實(shí)數(shù)θ∈R時(shí)恒成立。設(shè)函數(shù)g(θ)= ，即m大于g(θ)的最大值。而g(θ)= = =（cosθ-2）+ +4≤4-2 ，當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=2- 時(shí)取“=”，故m>4-2 。

二、巧選主元——數(shù)形結(jié)合性質(zhì)法

當(dāng)問(wèn)題中主元與參變?cè)荒芊蛛x，或以其中一元為主元問(wèn)題較復(fù)雜，可交換位置確定主元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以新主元為自變量的函數(shù)，然后數(shù)形結(jié)合，巧妙解答。

例2：已知f(t)=log t，t∈［ ，8］，對(duì)于f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式x +mx+4>2m+4x恒成立，求x的取值范圍。

解：∵t∈［ ，8］，∴ f(t)∈［ ，3］即m∈［ ，3］。設(shè)g(m)=(x-2)m+x -4x+4，不等式x +mx+4>2m+4x對(duì)于m∈［ ，3］恒成立，即g(m)>0對(duì)于m∈［ ，3］恒成立。由一次函數(shù)圖像性質(zhì)可知：g( )>0且g(３)>0，故x<-1或x>2。

三、不變主元——直接法

不變主元，設(shè)出新函數(shù)，從參數(shù)入手分類討論。

例3：（2007年高考題）設(shè)函數(shù)f(x)=e -e ，若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍。

解：令g(x)=f(x)-ax，則g′(x)=f′(x)-a=e +e -a。

由于e +e ≥2 =2，（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）

（i）若a≤2，當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)=e +e -a>2-a≥0，故g(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)。

所以，x≥0時(shí)g(x)≥g(0)，即 f(x)≥ax。

(ii)若a>2，方程 g′(x)=0的正根x =ln ，

此時(shí)，若x∈(0，x )，則g′(x)<0，故g(x)在該區(qū)間上為減函數(shù)。

所以，x∈(0，x )時(shí)，g(x)

綜上，滿足條件的a的取值范圍是（-∞，2］。

四、巧設(shè)函數(shù)——圖像法

當(dāng)問(wèn)題直接入手不易解答時(shí)，我們可以根據(jù)題目所給不等式進(jìn)行恰當(dāng)變形后，巧設(shè)函數(shù)，再由函數(shù)圖像之間的關(guān)系予以解答。

例4：設(shè)有函數(shù)f(x)=a+ 和g(x)= x+1，已知x∈［-4，0］時(shí)恒有f(x)≤g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：f(x)≤g(X)即a+ ≤ x+1，移項(xiàng)得 ≤ x+1-a，

設(shè)函數(shù)h(x)= ，k（x）= x+1-a，欲使x∈［-4，0］時(shí)f(x)≤g(x)恒成立，只須x∈［-4，0］時(shí)函數(shù)h(x)的圖像不在函數(shù)k(x)的圖像上方，而函數(shù)h(x)= （x∈［-4，0］）的圖像是半圓：（x-2） +y =4(y≥0)，函數(shù)k(x)= x+1-a的圖像是直線：y= x+1-a，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)有： =2，解得：a=-5或 （舍）。

∵相切時(shí)直線的縱截距是6，∴1-a≥6，∴a≤-5即為所求。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”