一道習題的探究性教學

摘要學生數學學習的過程一個收集信息、處理信息、得出結論的過程。發現和提出問題是探究的前提，學生如果不能提出有價值的問題，就不能進入探究活動。因此，數學教師要設置生動活潑的教學情境，然后開展讓學生能夠親自體驗的教學活動，激發學生的學習動機。本文就一道習題的探究性學習過程，開展讓學生能夠親自體驗的教學活動，突出了學生學習的主體性，學會了知識的遷移，使學生在學習過程中發揮了自己的聰明才智，并能培養學生學習的自主能力，真正做到培養學生的探究能力。

關鍵詞數學教學習題探究性自主學習

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

《數學課程標準解讀》指出:“學生數學學習的過程是一種再創造的過程，是學生經歷一個收集信息、處理信息、得出結論的過程，在此過程中學會一些探索的方法。”“學貴有疑”，發現和提出問題是探究的前提，學生如果不能提出有價值的問題，就不能進入探究活動。因此，數學教師要設置生動活潑的教學情境，然后開展讓學生能夠親自體驗的教學活動，激發學生的學習動機。本文就一道習題的探究性學習談談自己的做法。

1 提出問題

5名學生去聽同時進行的4個課外知識講座，每名同學可自由選擇聽其中一個講座，不同的選法的種數是()

這是一個實際問題，一經提出立即引起同學們的興趣，大家很快得出正確答案B。

數學教學中探究能力的培養，絕不是單純的解題訓練，要通過靈活多變的練習消除思維定勢的影響，鼓勵學生大膽選擇，從多角度、多方面提出新問題，開拓思路，不滿足解一道題，而要通過一道題的訓練，掌握一類題的解法，總結出這類題的規律，再把這些規律運用到實踐中去，達到觸類旁通的境地，通過這些行之有效的方法的訓練，將有助于學生能力的提高。

2 引申問題

這類問題有很多，經教師提示，同學們又提出以下問題:

問題1、將4個相同的球放入不同的3個盒子中，每盒至少放一個，有多少種放法?

問題2、將4個相同的球放入不同的3個盒中，有多少種放法?

問題3、將4個不同的球放入不同的3個盒中，問恰有一個空盒的放法有多少種?

問題4、將4個不同的球放入不同的3個盒中，每盒至少放一個有多少種放法?

問題5、將4個不同的球放入不同的3個盒中，有多少種放法?

3 討論新問題的解法

新問題均聯系生動活潑的生活實際，激發了學生質疑、探索的興趣，學生們從多方面、多角度思考問題，他們分成幾個小組，經過激烈的討論得出新問題的解法。

問題1的解法有兩種，一種直接法，每盒先放一球，剩下的一球有C31=3種放法。第二種解法“閘板法”，4個球用兩個“閘板”隔開，有C32=3種放法。

問題2分類討論可得C31+C32(A21+1)+C31=15種放法。有一個小組受“閘板”法的影響，把4個球和兩個“閘板”共6個元素排成一排，且球與“閘板”間不計順序有C62=15種放法。

問題3的討論最為激烈，解法也比較多。一個小組用直接法得C41C33A32+C42C22C32=24+18=42種。一個小組用排除法得34-C31-C42A33=42種，另一小組解法更簡潔C32(24-2)=42種。

問題4的答案C42A33=36。

有以上的結果，問題5的答案也就出來了34=81或C31+(C41C33A32+C42C22C32)+C42A33=81種。

4 探究問題的實質

上述問題解決后，同學們意猶未盡，透過問題的現象，總結出此類問題的本質。學生在實踐活動中運用數學思想去觀察、分析、處理現實生活中的實際問題。提高了學生的數學素養，也把他們認識問題的能力提高到一個新的境界。

問題6、將m個相同的元素放到n(n≥m)個位置，每個位置至多放一個元素，有多少種放法?

問題7、將n個相同的元素放到m(n≥m)個位置，每個位置至少放一個元素，有多少種放法?

問題8、將m個相同的元素放到n個位置有多少種放法?

問題9、將m個不同的元素放到n(n≥m)個位置，每個位置至多放一個元素，有多少種放法?

問題10、將m個不同的元素放到n個位置有多少種放法?

同學們經過討論得出結論:

問題6的解法很容易有Cnm種。

問題7可看成將n個相同的元素排成一排，用m-1個“閘板”隔開，有Cn-1m-1種放法。

問題8同樣用“閘板”法和上題不同的是元素和閘板間不計順序有Cnn+m-1種方法。

問題9的答案為Anm種。

問題10和問題5的方法一樣，結果為種。

結論:相同元素的分配問題分類討論十分麻煩，通過構造“閘板”模型，就可將之轉化為插入法的問題。(下轉第75頁)(上接第72頁)不同的元素的分配問題，無附加條件的可用上述公式解決，有附加條件的具休問題具體分析。

5 課外活動

本節內容結束后，我趁熱打鐵，讓學生在課外活動中找出與本節課內容有關聯的實際問題。同學們按照自己的興趣從生活中、練習題中找出有趣的此類問題。例如:

(1)將組成籃球隊的12個名額分給7所學校，每校至少一個名額，問名額分配方法有多少種?

(2)將20個相同的球放入編號為1、2、3的三個盒中，每盒中的球數不少于它們的編號數，有多少種放法?

(3)我們稱映射f:A→B為一個“一一映射”，如果對于A中不同的元素，在B中都有不同的元素與之對應，而且對于B中的任何一個元素都有原像的話。已知集合A={1，2，3，4｝，集合B={a， b， c， d｝，設集合A到集合B的不同映射的個數為m，從集合A到集合B的不同的一一映射的個數為n，那么m/n等于()

A、4B、8C、D、

(答案:C116=462;C162=120;3、D)

通過課外活動的開展，為學生創造思維的培養注入無窮的活力。同時，課外活動還為教師的因材施教提供了極大方便，獲得在課堂教學中難以得到的效果，并使學生在輕松愉快的環境中不知不覺地發展自己的創造力。

本節課設置生動活潑的教學情境，然后開展讓學生能夠親自體驗的教學活動，完成整個教學過程。在輕松有趣的教學活動中，不僅將知識學牢活用，而且將其親自參與教學氛圍，突出了學生學習的主體性，學會了知識的遷移，使學生在學習過程中發揮了自己的聰明才智，并能多方面培養學生學習的自主能力，真正做到在學生的創造性學習中培養學生的探究能力。