引領學生在數學探究中反思,點燃思維火花

摘要優化課堂教學模式，提高教學效率，是校本教研追求的重要目標。筆者在近幾年的高三年級數學教學中初步探索出“自主探索——解題反思——捕捉火花——總結規律”教學模式，收效顯著。

關鍵詞自主探究再創造總結規律

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

荷蘭著名的數學家弗賴登塔爾強調:“學習數學的唯一正確的方法是‘再創造’，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來;教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。”如同游泳一樣，要在游泳中學會游泳，我們也必須在做數學中學習數學。在數學知識學習的過程中，如果教師能盡量多給學生提供自主探索的時間和空間，使學生較多的獨立獲取知識的機會。平時教學時，我經常在采用解題后反思變形的形式進行教學。給學生恰當設置“最近發展區”，就會激活學生思維，產生強烈的探究欲望。

例如:我在高三年級講解習題:這是江蘇蘇州2008年高三調研卷中的最后壓軸題

題目已知函數f(x)=lnx，g(x)=2x-2(x≥1)

(Ⅰ)試判斷F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在定義域上的單調性;

(Ⅱ)當0

題目所給的答案如下:

解.(1)F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)=(x2+1)lnx-(2x-2)

當x>1時，F'(x)=2xlnx+，∴F'(x)>0

函數F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在[1，+∞]上遞增

(2)由(1)知當x>1時，F(x)>F(1)，又F(1)=0，∴F(x)>0

即(x2+1)lnx-(2x-2)>0，∴lnx>(*)

令x=，∵01

則(*)式可化為ln> ，

即lnb-lna>

當0

本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力。

反思1 如果沒有(Ⅰ)還能證出(Ⅱ)中不等式嗎?

很多同學在感嘆這個解法的簡潔、巧妙的同時。也在思考:(Ⅱ)中不等式是不依賴于題目中所給的條件而獨立存在的，如果想不到構造(Ⅰ)中的函數，(Ⅱ)中不等式怎么證?有沒有更一般的思路?分析如下:

法一:原不等式即為lnb-lna>(0

不妨考慮用x替換a，構建函數

F(x)=lnb-lnx-(0

根據求導法則有

F'(x)= - =

當0

當0F(b)=0

法二用x替換b，構建如下函數也可證明

F(x)=lnx-lna-(0

法三原不等式還可化為ln> ，

令則=x(x>1)，則lnx>(x>1)

于是還可構建函數F(x)=lnx-(x>1)進行證明

總結: 以上說明對不等式的證明可通過構建函數，研究函數的一些特性(如單調性，極值，最值等)，利用這些特性進行證明。一般地:若證f(x)>g(x)，x∈I則設F(x)=f(x)-g(x)，然后證明F(x)在l上的最小值大于0。

應用(07湖北理20).已知定義在正實數集上的函數f(x)=x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a>0.設兩曲線y=f(x)，y=g(x)有公共點，且在該點處的切線相同.

(I)用a表示b，并求b的最大值;

(II)求證:f(x)≥g(x)(x>0).

分析 對(II)中的不等式可直接考慮構建函數F(x)=f(x)-g(x)

解:(Ⅰ)設y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(x0，y0)處的切線相同.

反思2還有哪些更好的構造方法?

比較上述三個函數發現:對它們求導，求最小值運算都比較煩瑣，而問題(Ⅰ)中的函數研究相對簡單，怎么能想到該函數呢?

法四:事實上法三中不等式lnx>(x>1)等價于(x2+1)lnx>2(x-1)(x>1)于是構建并研究函數F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)也就在情理之中。

法五:還有沒有更簡潔的方法呢?∵a2+b2>2ab(0，用x替換a，構建函數F(x)=lnx--lnb+1，x∈(0，b).顯然問題簡潔多了.

總結:這說明構建的函數并不唯一，但在具體解題中，運算過程會有很大的差異，這就要求能合理的選取函數，或者對所選取的函數進行恰當的變形。當然孰優孰劣，要有一定的預見性，不能進行到很繁瑣時再回頭。

應用:(07安徽理18題).設a≥0，f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0).

(Ⅰ)令F(x)=xf'(x)，討論F(x)在(0，+∞)內的單調性并求極值;

(Ⅱ)求證:當x>1時，恒有x>ln2x-2alnx+1.

現分析(Ⅱ)(暫不考慮與(Ⅰ)問的聯系)

可能首先想到構建函數f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0)根據求導法則有f'(x)=1-+，x>0，導函數中含有lnx和參數a，求其單調性和最值還比較麻煩，還要再構建函數F(x)=xf'(x)=x-2lnx+2a，x>0，繼續研究。

但如果我們注意到在a≥0，x>1的前提下: 恒有x>ln2x-2alnx+1.與x>ln2x+1等價，那是不是就構建函數f(x)=x-1-ln2x(x>0)呢?根據求導法則有

f'(x)=1-，x>0還很難求其單調性 .事實上x>ln2x+1還等價與>lnx，于是可考慮構建函數f(x)=-lnx(x>1)。

再看(07山東理(22))設函數f(x)=x2+bln(x+1)，其中b≠0.

(Ⅰ)當b>時，判斷函數f(x)在定義域上的單調性;

(Ⅱ)求函數f(x)的極值點;

(Ⅲ)證明對任意的正整數n，不等式ln(+1)>-都成立.

分析:一種方法是直接用x替換n，構建函數h(x)=ln(+1)+-，x∈[1，+∞)另一種方法是用x替換，構建函數h(x)=ln(x+1)+x3-x2，x∈(0，1].顯然后一種方法較簡單。

解:(Ⅰ)(Ⅱ)略

(Ⅲ)令函數h(x)=ln(x+1)+x3-x2，

則h'(x)=3x2-2x+=.

∴當x∈[0，+∞)時，f'(x)>0，所以函數h(x)在[0，+∞)上單調遞增，又h(0)=0.

∴x∈(0，+∞)時，恒有h(x)>h(0)=0，即x2>x3-ln(x+1)恒成立.

故當x∈(0，+∞)時，有ln(x+1)>x3-x2.

對任意正整數n取x=∈(0，+∞)，

則有ln(+1)>-.

所以結論成立.

反思3本題還能給我們什么啟示?

該不等式是二元不等式，如何構建函數證明二元不等式呢?可以考慮試用如下方法。

總結:1將其中一個字母看作常數，另一個看作變量，構建函數，如法一，法二。

2將不等式整理變形，構建一元函數，如法三

應用(07遼寧理22).已知函數

f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1，g(x)=f'(x).

(I)證明:當t<2時，g(x)在R上是增函數;

(II)對于給定的閉區間[a，b]，試說明存在實數k，當t>k時，g(x)在閉區間[a，b]上是減函數;

(III)證明:f(x)≥.

分析:對于問題(III)要證的不等式即為x2t-2t(x2+x)+x2+2t2-≥0那么在構建的函數中把x看作變量，還是把t看作變量呢，顯然把t看作變量問題要簡潔的多。

再看(07浙江理(22))設f(x)=，對任意實數t，

記gt(x)=tx-t.

(I)求函數y=f(x)-gt(x)的單調區間;

(II)求證:(1)當x>0時， f(x)≥gt(x)對任意正實數t成立;

(2)有且僅有一個正實數x0，使得gx(x0)≥gt(x0)對任意正實數t成立.

僅證明(II)中的(1)

證明:(i)方法一:令h(x)=f(x)-gt(x)=-tx+t(x>0)，

則h'(x)=x2-t，

當t>0時，由h'(x)=0，得x=t，當x∈(x，+∞)時，h'(x)>0，

所以h(x)在(0，+∞)內的最小值是h(t)=0.

故當x>0時，f(x)≥gt(x)對任意正實數t成立.

方法二:對任意固定的x>0，令h(t)=gt(x)=tx-t(t>0)，則

h'(t)=t(x-t)，由h'(t)=0，得t=x3.

當00.當t>x3時，h'(t)<0，

所以當t=x3時，h(t)取得最大值h(x3)=x3.

因此當x>0時，對f(x)≥g(x)任意正實數t成立.

反思4 這個不等式的源頭在哪?

怎么會想到存在這樣一個不等式，它的幾何背景是什么?事實上:

不等式可化為>

不等式左邊可以看作y=lnx上任意兩點連線的斜率，由圖象不難看出:在(a，b)上存在€%g有=f'(€%g)·€%g∈(a，b)

而f'(€%g)=·€%g∈(a，b)這實質上是高等數學中的中值定理

又由不等式a2+b2≥2ab>2a€%g得>

∴ >

一點體會:在解題教學中，解題后 的反思不單是簡單的回顧或檢驗，而應引導學生仔細分析問題的結構特點，總結，清理，概括思路，進而在新的問題中加以應用，達到舉一反三。

綜上所述，通過系列問題的處理，引領學生邁上緊扣以思考促發展路子上，使學生在解題中感悟高考命題的來龍去脈，探索命題演變的趨勢、此舉主要收獲:一是設計科學有效的教學問題，促進學生思維發展;二是開展有趣的意義探究活動，促進學生實踐能力與思考能力的發展;三是引領學生開展融洽的合作學習，促進學生交往協作能力發展;四是在解題中講究學習策略，促進學生學習方法的更新;五是讓學生在學習過程中感悟體驗，促進學生情感升華。作為一名數學教師首先認真研讀新課標，學習先進的教學理論，在教學過程中做到設計要“實物化”，課堂教學模式要“新”要“變”要“活”，教學手段要“關注實效”，就一定能引領學生親近知識，讓數學真正走近學生，使學生真正能成為數學學習的主人。