淺談課本習題潛功能的挖掘

摘要高考數(shù)學試題源于課本的題型占據(jù)了一定的份量，這就要求我們在重視例題教學的同時，更要注重對課本習題潛功能的充分挖掘。訓練和拓展學生思維，養(yǎng)成細致解題的習慣，以幫助提高學生解題速度和技巧，將數(shù)學基礎知識的掌握上升到較高層次。

關鍵詞應用推廣訓練和拓展細致解題

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

從近幾年來的高考數(shù)學試題來看，源于課本的題型占據(jù)了一定的份量，這就要求我們在重視例題的教學同時，更要注重對課本習題潛功能的充分挖掘。因此我在教學中，對挖掘課本習題潛功能方面做了一些努力和嘗試，下面結合人教2002年版本教材，試從挖掘課本習題潛功能的幾個方面各舉幾例，與各位同仁交流。

1 重視結論的應用推廣，提高解題速度和技巧

原題1:全日制普通高級中學教科書(必修)數(shù)學第二冊(上)P44第12題，設點P(x，y)在直線Ax+By+C=0上，求證:這條直線的方程可以寫成A(x-x)+B(y-y)=0。

本題采用代入法，用x、y表示C后，再代入直線一般式方程，經(jīng)過整理得到直線方程的另外一種形式，我在教材中所提到的直線方程的五種形式的基礎上補充為第六種，自命名為“點系式”方程。

應用原題1，在求經(jīng)過某已知點與已知直線平行或垂直的直線方程時，可以直接寫出所求方程，如:經(jīng)過點A(3，2)且與直線4x+y-2=0平行、垂直的直線方程分別可以直接寫為4(x-3)+(y-2)=0、(x-3)-4(y-2)=0.

原題2:全日制普通高級中學教科書(必修)數(shù)學第二冊(下B)P81第2題，已知△ABC的面積為S，平面ABC與平面€%Z所成的銳角為€%a，△ABC在平面€%Z內的正射影△A'B'C'為其面積為S'，求證:S'=Scos€%a。

本題的證明，對三垂線定理及逆定理滲透性較強。同時，應用該題結論，可以解決有關二面角的問題，不過在解題中要注意構成二面角的兩個半平面的分布情況。如:正四面體ABCD中，棱長為a，求側面與底面所成二面角的大小，可以很快地根據(jù)公式列出a2cos€%a=a2，然后求出該角的余弦cos€%a=，則€%a=arccos.

由此可見，習題結論的應用推廣，可以幫助學生更進一步地把握好數(shù)學教材，形成快速解答數(shù)學問題的一些技巧。

2 重視一題多解、一題多變，加強知識間的內在聯(lián)系，訓練和拓展學生思維

原題3:全日制普通高級中學教科書(必修)數(shù)學第二冊(上)P22練習第2題，求證:|x+|≥2(x≠0)

學生很快可以應用均值不等式證明出來，在評講該習題時，我將該題進行幾次變化，增設如下幾問:①求函數(shù)y=x+的值域;②指出y=x+的單調區(qū)間，并將其推廣到函數(shù)y=x+(a>0)的研究，此函數(shù)為雙勾函數(shù)，因其單調區(qū)間和最值分布明顯，常用來解決有關函數(shù)的最值和單調性問題。這樣一題多變，使學生在應用均值不等式進行證明時，聯(lián)系到了函數(shù)的單調性、值域等知識點，并應用數(shù)學知識來解決實際問題。

原題4:全日制普通高級中學教科書(必修)數(shù)學第二冊(上)P44第6題，證明三點A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一直線上。

此題的證明，我們分析后應用了如下幾種證明方法:

證法一:從斜率公式入手，可得kAB=kBC，從而證得三點共線;

證法二:從線段的定比分點坐標公式入手，由x坐標計算出€%d1，由y坐標計算出€%d2，得到€%d1=€%d2，從而證明三點共線;

證法三:從兩點式方程入手，求出直線AB的方程，代入點C進行驗證，而證明三點共線;

證法四:從兩點間的距離公式入手，計算|AB|、|BC|、|AC|，得到|AB|+|BC|=|AC|，證得三點共線。

證法五:從向量的共線入手，得到AB=AC，證得三點共線。

本題多種思路的解答，聯(lián)系到了直線的斜率公式、線段的定比分點坐標公式、兩點式方程、兩點間的距離公式、向量共線等知識點，也使學生掌握了解決三點共線問題的多種方法。

一題多變與多解，可以通過一題的訓練，聯(lián)系到較多的知識點，拓展學生的思維，起到事半功倍的作用。

3 重隱蔽條件與學生錯誤分析，養(yǎng)成細致解題的習慣

原題5:全日制普通高級中學教科書(必修)數(shù)學第二冊(下)P92第3題，已知為€%Z第二象限角，化簡cos€%Z+sin€%Z。如去掉€%Z第二象限角這一條件。則學生在解答本題時，很難得到全面的答案。對此題的錯誤講評分析時，須強調學生在三角公式的應用中，符號的注意是重中之重。平方關系應用時，尤其要注意符號。同時通過對€%Z的討論，也滲透了分類討論思想方法。

原題6:全日制普通高級中學教科書(必修)數(shù)學第二冊(上)P72第7題，求與點O(0，0)和A(c，0)的距離的平方差為常數(shù)c的點的軌跡方程。

對于本題的解答，學生忽視了條件c可以(下轉第88頁)(上接第79頁)為0的情況，所以求得的軌跡方程都為x=，而“當c=0時，軌跡為整個平面”這一情況沒有注意到。諸如這類細節(jié)問題，課本中習題比較多，也是學生出錯比較普遍的地方。如在給條件求值時，需要注意掩蔽的條件;求曲線的軌跡方程問題，要注意挖去哪些點以及自變量所受的取值范圍限制等等。

4 重視解題思想方法的滲透，將數(shù)學基礎知識的掌握上升到較高層次

原題7:全日制普通高級中學教科書(必修)數(shù)學第一冊(下)P89第17題，如圖，三個相同的正方形相接，求證本題可以用幾何知識中的三角形相似方法來解決，然而更簡捷的解題思路，是應用代數(shù)中三角函數(shù)中兩角和的正切公式解答，這樣，幾何問題轉化為代數(shù)問題，體現(xiàn)了轉化思想和數(shù)形結合思想方法。

又如在數(shù)列問題的解答中，對于等差數(shù)列和等比通項公式和前n項和公式應用的問題，還可以運用方程和函數(shù)思想來分析和解決。

在解答數(shù)學題的過程中，只有有意識的應用數(shù)學思想方法去分析和解決問題，才能形成能力，提高數(shù)學素質，使自己具有數(shù)學頭腦和眼光。

課本習題較多，我們在教學中要抓住重點，并且善于從各個方面精心挖掘其潛功能，重視其輻射作用。只有這樣，我們才會真正從題海戰(zhàn)術中脫身出來，我們的學生也才會感受到學習是輕松愉快的。