利用馬爾柯夫鏈對天津市恩格爾系數的實證分析

摘要：把天津市恩格爾系數的變化過程看成是一個馬爾可夫鏈，并針對恩格爾系數的特點引入恩格爾系數增減率，建立天津市恩格爾系數變化對馬爾可夫鏈模型，并進行預測分析，以供有關方面參考。

關鍵詞：馬爾柯夫鏈 天津市 恩格爾系數

中圖分類號:F224

文獻標識碼:A

1 分析背景

恩格爾系數是從一個方面反映一個國家或地區消費結構狀況， 衡量居民生活水平高低，且被世界各國廣泛采用的消費結構指標。聯合國糧農組織(FAO)根據各國的消費習慣，利用恩格爾系數對一個國家或地區的居民生活質量提出了一個相對標準，即60%以上為絕對貧困，50%-60%為勉強度日，40%-50%為小康，30%-40%為富裕，30%以下為最富裕。聯合國糧農組織的這一舉措，使恩格爾系數成為評價國家或地區生活水平高低的重要標準之一，恩格爾系數和恩格爾定律得到了廣泛的認同。

中國從改革開放以來，隨著經濟發展，居民收入差距擴大，消費檔次逐步拉開，引起人們對恩格爾系數普遍關注。另外，中國宣布“總體達到小康”，其衡量標準之一就是恩格爾系數。我國勞動和社會保障部確定最低工資標準的方法之一就是恩格爾系數法。因此研究恩格爾系數具有和重要的現實意義。

2 馬爾可夫鏈

馬爾可夫鏈的數學定義為：設隨機過程 的狀態空間S為R中的可列集。如果對T中任意n個參數t1＜t2＜…tn，以及使

成立的S中任意狀態i1，…in-1與in均有 則稱 為馬爾可夫鏈。設I為離散的馬爾可夫鏈的狀態空間。稱條件概率

，為的h步轉移概率。轉移概率表示已知過程在m的馬爾可夫鏈稱為齊次馬爾可夫鏈。此時，k步轉移概率可以記為p(k)。當時k=1，稱為一步轉移概率，簡記為p；并且p(k)=pk，k≥1。概率轉移矩陣中的元素具有非負性以及行和為1兩個性質。

應用馬爾可夫鏈的方法預測的基本思路是:如果某種事物或某種現象的各狀態的時間序列為馬爾可夫鏈，則根據T(u-1)時刻的狀態估計或預報T(u)時刻的狀態。對于一個符合馬爾可夫過程的時間序列，先根據具體情況，將其劃分成若干離散的狀態，再計算一階轉移概率矩陣。由T(u-1)時刻的S(u-1)某狀態，經一步轉移到T(u)時刻的S(u)某狀態的概率，稱為一步轉移概率。一步轉移概率為：，其中ωu為狀態S(u)出現的次數，ωuk為從狀態S(u)轉移到狀態S(k)的次數，puk為由狀態S(u)經過一階轉移到狀態S(k)的轉移概率。

習慣上把尚未發生轉移變化的初狀態概率稱為0步，記作ro。由問題需要，0步可確定在任意時刻，它是預測模型的初始條件。設rk=（r1k，r2k，…，rnk）表示T（k）時的狀態概率，根據條件概率公式，有T(k+1)時狀態：rk+1=（r1k+1，r2k+1，…rnk+1）=（r1k，r2k，…，rnk）xp=rkxp，由此可以得出：rk+1=rkxp=rk-1xp2=…=roxpk+1，該式即為馬爾可夫鏈預測模型，只要初始狀態向量ro已知，狀態轉移矩陣給定，以后每步的狀態向量就都可以計算，進而可以計算出恩格爾系數的變化趨勢。

3 天津恩格爾系數的實證分析

利用天津市1985年至2006年城鎮居民家庭恩格爾系數作為數據，見表1。由于恩格爾系數呈一種波動的降低趨勢，若直接將恩格爾系數進行狀態劃分，則狀態顯得比較集中，計算不便。為避免這種弊端，引入增減率，用恩格爾系數的增減率描述在一定程度上弱化了長期趨勢，使波動特征更加明顯，符合人們生活水平的動態特征。按增減率的大小將恩格爾系數分為減少、持平、增加3種狀態組成馬爾柯夫鏈.表1中22年來的恩格爾系數在總體上呈現下降趨勢，此即說明人們的生活水平呈提高趨勢，因此，根據這個特點，將恩格爾系數的增減率劃分為3個狀態，即減少、持平、增加，分別以1，2，3來表示，相對應的增減率范圍分別為：[-4.5914，-1.5305]，[-1.5305，2.1700]，和[2.1700，6.5099]。

令r(n)表示恩格爾系數在第n年的增減率，顯然 是一個離散參數隨機過程。這里只考慮其3個狀態，則pij(i，j=1，2，3)表示狀態由i轉向j的概率，如p12表示恩格爾系數相對于前一年由減少變為持平的概率。

由表1計算一步轉移概率，如狀態“2”共出現12次，其中，轉移為“1”的有5次，轉移為“2”的有7次，轉移為“3”的有0次。從而構成一步概率轉移矩陣的第二行，其它以此類推.只是狀態“1”應去掉最后一年份，出現次數為7次。以2006年為基準，由表1知天津市2006年城鎮居民家庭恩格爾系數的增減率處于狀態1，即初始狀態概率向量p（0）=（100），由預測模型，利用MATLAB計算得到2007-2011年的轉移狀態如下表所示：

從上表可以看出，恩格爾系數上升的概率很小。更多是保持平衡和上升。另外，轉移概率矩陣，在第7步之后成為穩定的，其狀態概率的分布恒為。

4 結語

本文的實例說明，運用隨機理論來刻畫恩格爾系數的隨機變化是可行的。馬爾柯夫隨機預報模型有較高的可靠性，適于實際應用。建立預報模型的關鍵是構造相應的概率轉移矩陣。長期預報應及時利用最新監測數據對概率轉移矩陣作出調整，以保障預報模型的可靠性。

參考文獻：

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