立體幾何中找二面角的平面角的三法

摘 要： 在立體幾何中求二面角的大小是立體幾何學習的重點，但對于學生來講是一個難點，原因有：（一）空間想象能力欠缺；（二）關于二面角的基礎知識掌握得不夠扎實；（三）關于找二面角平面角的方法沒有系統的掌握。為了更好地解決這些問題關鍵是系統的掌握方法，總結方法有三種，分別是：定義法、三垂線定理法、射影法。

關鍵詞： 立體幾何 二面角 平面角

立體幾何的學習對許多學生來講都比較困難，但若對于每個問題教師能注意方式方法的教學，學生能注意方式方法的學習，則會給學習帶來方便。關于立體幾何中找二面角的平面角是立體幾何學習的重點，但對于學生來講是一個難點，原因有：（一）空間想象能力欠缺；（二）關于二面角的基礎知識掌握得不夠扎實；（三）關于求二面角平面角的方法沒有系統的掌握。

對于空間想象能力的培養不是短時間能解決的，但是對于二面角基礎知識的掌握和如何找二面角平面角的方法是能掌握的，只要用心和注意方式方法，并且二面角的基礎知識是求解二面角的前提條件，掌握求二面角的方法是必要條件。

要正確地求出二面角的平面角必須掌握有關的基礎知識：（一）二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形；（二）二面角平面的定義：在二面角的棱上任取一點，分別在兩個平面內作兩射線都與棱垂直，這兩條射線所成的角為二面角平面；（三）二面角平面角的范圍：［0°，180°］。

在掌握以上基礎知識的基礎下，要針對不同的題目采取不同的方法。我歸納了一下大概有三種方法：

（一）定義法：根據二面角平面角的定義，在二面角的棱上任取一點，分別在兩個平面內作兩射線都與棱垂直，這兩條射線所成的角為二面角平面角。

例1：如圖1，過正方形ABCD的頂點作PA⊥平面ABCD，設PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

分析：如圖，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD=∠PAB=Rt∠，又∵正方形ABCD，∴AD=AB，又∵PA為公共邊。∴△PAD≌△PAB，∴PD=PB，又∵DC=BC，PC為公共邊，∴△PDC≌△PBC，∴過D作DE⊥PC，連接BE，∴BE⊥PC。∴∠DEB為二面角B-PC-D的平面角。找到角是關鍵一步，接下去是把角放在三角形中用解三角形的方法求角。

解：如圖，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD=∠PAB=Rt∠，又∵正方形ABCD，∴AD=AB，又∵PA為公共邊。∴△PAD≌△PAB，∴PD=PB，又∵DC=BC，PC為公共邊，∴△PDC≌△PBC，過D作DE⊥PC，連接BE，∴BE⊥PC。∴∠DEB為二面角B-PC-D的平面角。又由三垂線定理得：△PDC，△PBC為Rt△，DE=BE= ，BD= a，又由余弦定理可得：cos∠BED=- ，∠BED=120°，∴二面角B-PC-D的大小為120°。

（二）垂線定理法：如圖2：AE⊥α，AD⊥BC，連接DE，由三垂線定理可得，ED⊥BC，∴∠ADE為二面角A-BC-α的平面角。

例2：過正方體ABCD-A B C D 的頂點B作截面BDC ，求二面角B-D-C -C的正切值。

分析：如圖3，在正方體ABCD-A B C D 中，BC⊥平面DC ，過點B作BE ⊥DC ，連接C、E ，由三垂線定理可得BC⊥∠BE C為二面角B-DC -C的平面角。

解：如圖，在正方體ABCD-A B C D 中，BC⊥平面DC ，過點B作BE ⊥DC ，連接C、E ，由三垂線定理可得∠BE C為二面角B-DC -C的平面角。又因為∠BCE =90°，令BC=1，CE = ，所以tan∠BE C= 。

（三）射影法，也稱面積法。如圖4：AD⊥平面BCD，過A作AE⊥BC，連接D、E。由三垂線定理可得，∠AED為二面角A-BC-D的平面角。cos∠AED= ，又因為S = BC·AE，S = BC·DE，所以， = ，所以cos∠AED= ，而△BCD為△ABC在平面BCD的射影，所以令α為二面角的平面角，cosα= 。

例3：在一正方體ABCD-A B C D 中，求平面A BC 與平面ABCD所成的二面角的余弦值。

分析：如圖5：在正方體ABCD-A B C D 中，A A⊥平面ABCD，C C⊥平面ABCD，所以△A BC 在平面ABCD上的射影為△ABC，由射影法得，令α為二面角的平面角，cosα= = = = 。

所以平面A BC 與平面ABCD所成的二面角的余弦值為 。

上面關于求二面角平面角的方法在教學過程中我覺得對于學生很好地去掌握找二面角平面角有很大的幫助，讓學生去思考問題時有了思考的方法和思路，有利于學生正確地找到角，從而解決求二面角難的問題。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文