2009年中考數學部分試題亮點展示與評析

李成康

數學源于生活,生活中處處有數學.我國著名數學家華羅庚教授對數學的各種應用有著精辟闡述:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,生物之迷,日用之繁等各個方面,無不有數學的重要貢獻.”數學是社會生活和生產實踐活動的產物,它來源于現實生活,又可用于指導實踐活動.隨著時代的發展,能用數學的眼光去看待生活,去認識世界,并綜合應用數學知識和數學方法處理周圍的問題,將成為每個公民的素養.

2009年的數學中考試卷中涌現出了不少關注社會生活熱點時事類試題,這類試題選材廣泛、形式靈活、內容豐富、貼近生活、關注熱點、與時俱進、情境新穎、立意獨特,具有鮮明的時代特征和地方特色,展示了數學豐富的內涵與廣泛的應用價值;使考生倍感親切溫馨,同時提升了學生應用數學的意識和關注社會的責任感.凸現了數學新課程倡導的教學方式,課改精神體現充分,具有較強的導向作用.

這類試題重點考查學生從簡單的實際問題中抽象出數學模型的能力和應用數學的意識,考查學生的閱讀能力、識圖能力和推理能力.解題時,需要學生通過分析,從實際問題中抽象出數學模型,轉化為數學問題,綜合應用數學知識、方法求解.下面我就2009年中考數學試題中的部分亮點——“社會生活熱點時事”做具體的展示與評析.

一、金融危機問題

例1:(2009年浙江省義烏市)盡管受到國際金融危機的影響,但義烏市經濟依然保持了平穩增長.據統計,截止到今年4月底,我市金融機構存款余額約為1 193億元,用科學計數法應記為().

A.1.193×10¹⁰元B. 1.193×10¹¹元

C.1.193×10¹²元D. 1.193×10¹³元

分析:本例以應對國際金融危機問題作為背景,說明了中央及地方政府應對金融危機的實力,對學生既有數理的考查,又有對國家時事的關注.

二、家電下鄉問題

例2:(2009年黑龍江省牡丹江市)某冰箱廠為響應國家“家電下鄉”號召,計劃生產A、B兩種型號的冰箱100臺.經預算,兩種冰箱全部售出后,可獲得利潤不低于 4.75萬元,不高于4.8萬元,兩種型號的冰箱生產成本和售價如下表.(1)冰箱廠有哪幾種生產方案?(2)該冰箱廠按哪種方案生產,才能使投入成本最少?“家電下鄉”后農民買家電(冰箱、彩電、洗衣機)可享受13%的政府補貼,那么在這種方案下政府需補貼給農民多少元?(3)若按(2)中的方案生產,冰箱廠計劃將獲得的全部利潤購買3種物品:體育器材、實驗設備、辦公用品支援某希望小學.其中體育器材至多買4套,體育器材每套6 000元,實驗設備每套3 000元,辦公用品每套1 800元,把錢全部用盡且3種物品都購買的情況下,請你直接寫出實驗設備的買法共有多少種?

分析:本例是以“家電下鄉”作為背景材料的方案設計題,家電下鄉政策是深入貫徹落實科學發展觀、積極擴大內需的重要舉措,是財政和貿易政策的創新突破.對農民購買納入補貼范圍的家電產品給予一定比例(13%)的財政補貼,以激活農民購買能力,擴大農村消費,促進內需和外需協調發展.本例要求學生注意文字與表格相結合,根據題意將建立的函數表達式轉換為恰當的不等式組模式,求出未知數的取值范圍.然后結合實際問題取其整數解,得出方案設計的種數.選擇最優的方案時,其一般解法是根據一次函數的增減性來確定最優方案或者是求出所有方案作比較.此例在考查學生綜合處理實際問題能力的同時滲透了熱點時事.

三、甲型H1N1流感問題

例3:(2009年浙江省衢州市)2009年5月17日至21日,甲型H1N1流感在日本迅速蔓延,每天的新增病例和累計確診病例人數如下圖所示.(1)在5月17日至5月21日這5天中,日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天?該天增加了多少人?(2)在5月17日至5月21日這5天中,日本平均每天新增加甲型H1N1流感確診病例多少人?如果接下來的5天中,繼續按這個平均數增加,那么到5月26日,日本甲型H1N1流感累計確診病例將會達到多少人?(3)甲型H1N1流感病毒的傳染性極強,某地因1人患了甲型H1N1流感沒有及時隔離治療,經過兩天傳染后共有9人患了甲型H1N1流感,平均每天一個人傳染了幾個人?如果按照這個傳染速度,再經過5天的傳染后,這個地區一共將會有多少人患甲型H1N1流感?

分析:本例以“甲型H1N1流感”問題作為背景,說明了其流感病毒蔓延迅速,危害之大.此例綜合考查了學生對統計知識的理解以及在現實生活中的應用.讓學生在實際問題情景中,靈活運用統計的基礎知識和技能,處理信息,分析和解決問題.解決問題的關鍵是能從折線統計圖中讀取數據和處理信息.

四、醫療衛生領域問題

例4:(2009年浙江省寧波市)2009年4月7日,國務院公布了《醫藥衛生體制改革近期重點實施方案(2009～2011)》,某市政府決定2009年投入6 000萬元用于改善醫療衛生服務,比2008年增加了1 250萬元.投入資金的服務對象包括“需方”(患者等)和“供方”(醫療衛生機構等),預計2009年投入“需方”的資金將比2008年提高30%,投入“供方”的資金將比2008年提高20%.(1)該市政府2008年投入改善醫療衛生服務的資金是多少萬元?(2)該市政府2009年投入“需方”和“供方”的資金是多少萬元?(3)該市政府預計2011年將有7260萬元投入改善醫療衛生服務,若從2009～2011年每年的資金投入按相同的增長率遞增,求2009～2011年的年增長率.

分析:本例以“改善醫療衛生服務”作為背景材料,說明了中央及各級政府對改善醫療衛生服務的重視程度.增長率問題是關于一元二次方程應用題的中考熱點題型,主要考查學生的建模思想,構建方程模型即可迎刃而解.

五、兩免一補問題

例5:(2009年青海省西寧市)為執行“兩免一補”政策,某地區2007年投入教育經費2 500萬元,預計2009年投入3 600萬元.設這兩年投入教育經費的年平均增長百分率為x,那么下面列出的方程正確的是().

A.2 500x²=3 600B.2 500(1+x%)²=3 600

C.2 500(1+x)²=3 600

D.2 500(1+x)+2 500(1+x)²=3 600

分析:為了“讓所有的孩子都能上得起來,都能上好學”,國家自2007年起出臺了一系列“資助貧困學生”的政策,其中包括向經濟困難的學生免費提供教科書的政策.本例以“兩免一補”作為背景材料,主要考查了學生的方程建模思想,同時也讓學生了解“兩免一補”政策.

六、環保問題

例6:(2009年湖北省黃石市)全國實施“限塑令”于今年6月1日滿1年,某報三名記者當日分別在武漢三大商業集團門口,同時采用問卷調查的方式,隨機調查了一定數量的顧客,在“限塑令”實施前后使用購物袋的情況.下面是這三名記者根據匯總的數據繪制的統計圖.請你根據以上信息解答下列問題:(1)圖1中從左到右各長方形的高度之比為2∶8∶8∶3∶3∶1,又知此次調查中使用4個和5個塑料購物袋的顧客一共24人,問這三名記者一共調查了多少人?(2)“限塑令”實施前,如果每天約有6 000人到該三大商場購物,根據記者所調查的一定數量顧客平均一次購物使用塑料購物袋的平均數,估計這三大商業集團每天需要為顧客提供多少個塑料購物袋?(3)據武漢晚報報道,自去年6月1日到去年12月底,三大商業集團下屬所有門店,塑料袋的使用量與上一年同期相比,從12 927萬個下降到3 355萬個,降幅為(精確到百分之一).這一結果與圖2中的收費塑料購物袋%比較,你能得出什么結論,談談你的感想.

分析:本例以“限塑令”的環保問題作為背景材料,學生只要理解統計中的一些概念,讀懂“雙統計圖(表)”,綜合從兩個統計圖中獲取的信息進行求解.考查了學生對圖表的處理能力及數據的運算能力,通過對樣本的分析來估計總體,會從數據中得到的結論進行合理的想象,教育學生要樹立環保意識.

七、海峽兩岸實現“大三通”問題

例7:(2009年福建省寧德市)某刊物報道:“2008年12月15日,兩岸海上直航、空中直航和直接通郵啟動,‘大三通基本實現.‘大三通最直接好處是省時間和省成本,據測算,空運平均每航次可節省4小時,海運平均每航次可節省22小時,以兩岸每年往來合計500萬人次計算,則共可為民眾節省2 900萬小時……”根據文中信息,求每年采用空運和海運往來兩岸的人員各有多少萬人次.

分析:本例以“海峽兩岸實現大三通”作為背景材料,歷經近30年磋商與努力,大陸與臺灣通郵、通商、通航的直接三通構想由此基本實現,這是兩岸關系發展史上具有里程碑意義的大事,掀開了中華民族歷史濃墨重彩的一頁.此例考查了學生的方程建模思想,構建二元一次方程組即可求解,同時還向學生滲透了人們所關注的熱點大事.

八、北京奧運問題

例8:(2009年山東省德城市)如下圖,2008年奧運火炬在云南省傳遞,傳遞路線為“昆明—麗江—香格里拉”,某校學生小明在省地圖上設定的臨滄市位置點的坐標為(-1,0),火炬傳遞起點昆明市位置點的坐標為(1,1).如圖,請幫助小明確定出火炬傳遞終點香格里拉位置的坐標為.

分析:本例以“2008年北京奧運火炬傳遞”為背景材料,2008年的北京奧運是眾所周知的熱點大事.此例能較好地把網格與平面直角坐標系完美地結合在一起,考查學生的數形結合思想,要求學生對“點的坐標”知識理解,通過觀察兩個已知點的坐標,確定原點,建立平面直角坐標系即可得到香格里拉位置的坐標.

九、軍事問題

例9:(2009年湖北省襄樊市)為打擊索馬里海盜,保護各國商船的順利通行,我海軍某部奉命前往該海域執行護航任務.某天我護航艦正在某小島A北偏西并距該島海里的B處待命.位于該島正西方向C處的某外國商船遭到海盜襲擊,船長發現在其北偏東的方向有我軍護航艦(如下圖所示),便發出緊急求救信號.我護航艦接警后,立即沿BC航線以每小時60海里的速度前去救援.問我護航艦需多少分鐘可以到達該商船所在的位置C處?(結果精確到個位.

分析:本例以“打擊索馬里海盜”為背景材料,考查了學生對“解直角三角形在實際問題中的應用”知識的理解,同時也向學生滲透了我國海軍的軍事實力.解決問題的關鍵是構建三角函數模型,把實際問題抽象為幾何問題,通過B點作AC的垂線將其轉化為解直角三角形的問題.

十、農民工再就業問題

例10:(2009年湖南省長沙市)為了提高返鄉農民工再就業能力,勞動和社會保障部門對400名返鄉農民工進行了某項專業技能培訓,為了解培訓的效果,培訓結束后隨機抽取了部分參調人員進行技能測試,測試結果分成“不合格”、“合格”、“良好”、“優秀”4個等級,并繪制了如下圖所示的統計圖,請根據統計圖提供的信息,回答下列問題:(1)培訓結束后共抽取了名參訓人員進行技能測試;(2)從參加測試的人員中隨機抽取1人進行技能展示,其測試結果為“優秀”的概率為;(3)估計這400名參加培訓的人員中,獲得“優秀”的總人數大約是多少?

分析:本例以“返鄉農民工再就業”為背景材料,體現了政府對返鄉農民工的關心.這是一道概率與統計的綜合題,考查學生從條形統計圖(表)中獲取有用的信息,共抽取的人員為40名,“優秀”的概率為,通過對樣本的分析來估計總體,得到優秀的總人數為100人.

十一、手足口病問題

例11:(2009年山東省棗莊市)為預防“手足口病”,某校對教室進行“藥熏消毒”.已知藥物燃燒階段,室內每立方米空氣中的含藥量y(mg)與燃燒時間x(分鐘)成正比例;燃燒后,y與x成反比例(如下圖所示).現測得藥物10分鐘燃燒完,此時教室內每立方米空氣含藥量為8 mg.根據以上信息,解答下列問題:(1)求藥物燃燒時y與x的函數關系式;(2)求藥物燃燒后y與x的函數關系式;(3)當每立方米空氣中含藥量低于1.6 mg時,對人體無毒害作用.那么從消毒開始,經多長時間學生才可以返回教室?

分析:本例以“手足口病”作為背景材料,手足口病是一種由多種腸道病毒感染引起的,主要侵犯5歲以下兒童.2009年我國手足口病發病處于上升階段,采用“藥熏消毒”可以將其中的EVT1病毒殺滅,從而起到很大程度的預防手足口病.此例主要考查學生的函數建模思想,其中第(3)問選擇哪一個函數解析式是解決問題的關鍵,只要學生抓住“當每立方米空氣中含藥量低于1.6 mg時,”自然就知道應該選擇反比例解析式來建立不等式,從而使問題得到解決.

總之,2009年中考數學以社會生活熱點時事為背景的試題突出了諸多亮點:背景新穎、設問巧妙,來源于生活,關注熱點時事,立足本土、放眼社會,賦予其新的內涵.源于教材,又活于教材.重點考查學生的閱讀能力、識圖能力、建模能力、分析問題和解決問題的能力,突出了應用性和時代感,新意迭出,亮點閃爍,令人賞心悅目,堪稱踐行新課程理念的一朵奇葩.

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編輯/張燁