試論高等數學教學過程中對學生應用能力的培養

宋　菲　王建瑜

(西北農林科技大學理學院陜西楊凌712100)

摘要本文首先分析了目前大學數學教學中存在的教學方法空洞單一、應用性不強等現象，從幾個方面剖析了現象背后的原因，最后提出了如何改進數學教學的方法和建議，主要是授課內容上要與時俱進，教學方法上要充分利用直觀形象的教學手段，同時注意知識之間的融會貫通與應用性等，以期提高大學數學教育的質量。

關鍵詞數學教學；直觀；應用；與時俱進；教育質量

20世紀中葉以來，現代信息技術的飛速發展，極大地推進了應用數學與數學應用的發展，使得數學幾乎滲透到了每一個科學領域及人們生活的方方面面。自然科學的深入發展越來越依賴于數學，而社會科學、人文科學也越來越多地借助于數學知識及其思想方法。數學作為科學的語言，作為推動科學向前發展的重要工具，在人類發展史上具有不可替代的作用，并將在未來的社會發展中發揮更大的作用。這也標志著新世紀對大學生數學素質要求更高更全面。但是，目前高等院校的本科數學課程教學中存在不少問題，很不適應當前整體學時減少及高校擴招后學生現實的狀況。應如何加強直觀性、應用性和創造性的教學，重視課程的教學效率和效果，切實提高大學數學教育質量就顯得尤其重要。

一、目前的現象和困惑

由于缺乏直觀性、應用性和創造性教學，使得在目前的大學數學教學中出現了如下幾個較為普遍的現象：

1、“空洞的解題訓練”現象

兩千年來，人們一直認為每個受教育者都必須具備一定的數學知識。但是今天，由于數學教學模式較單一，講授知識點多，講述數學知識的來源少；講授知識本身多，講述知識“身外”之事之事少。缺乏直觀性和應用性的教學，使得數學教學有時竟演變為空洞的解題訓練。教學內容枯燥無味，難以激起學習興趣。

2、“得意忘形”現象

“過分” 強調數學知識的嚴密性和數學理論的抽象性而忽視了數學的應用以及與其他領域的聯系，使數學“過度”抽象化、神秘化。淡化了數學的通俗性和實用性。同時，缺乏或不太重視直觀性特別是幾何直觀性教學，使學生知其然不知其所以然，較大程度上陷入“得意忘形”的境界。“得”了數學知識的字面定義、性質、定理，“ 忘”了數學知識的原始來源動機和直觀。

3、“高等數學無用論”現象

使學生認為數學就是“定義+定理(性質、公式)+證明(計算)”，數學學好學壞對自己以后的發展沒關系或影響不大。數學知識的來源和應用介紹得少，數學的重要性、數學對科學技術的發展、其它學科的促進和支撐作用沒有充分體現。沒有充分認識到讓學生懂得數學的廣泛應用性也是數學教學的任務之一，對提高數學教學質量往往會起到事半功倍的作用。

4、“數學太難”現象

高等數學是我國高等院校為低年級學生普遍開設的一門基礎課，學生對高等數學掌握的好壞直接影響到其對后續課程的學習，也是決定該同學能否升入高一年級的學習關鍵。但是，盡管高等數學的課時較多、老師和學生都下了不少的功夫，但期末考試時，高等數學的掛科率高大多位于“榜首”。分析原因，大家幾乎都認為是“高數太難”。為什么會這樣呢？

由于教學方法和思想的不當，我們的教學往往使學生認為數學及數學學習很“恐怖”，學生缺乏學習積極性、主動性，引導學生自主思考、開動腦筋的題目、問題較少。大都是一沉不變的公式、定理證明和復雜的計算，讓學生覺得非常“痛苦”。

二、現象背后的原因

數學之難以理解，究竟是數學學科本身內在的特性，還是因為數學教師們在傳播數學知識方面的無能呢? 造成上述現象應該既有數學學科本身的原因，也有教師自身的原因。簡單歸納如下：

1、數學學科的特點

數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的科學，是人們在社會生產和生活實踐中總結、提煉和抽象出來的。內容的抽象、結構的嚴謹、應用的廣泛、發展的連續是數學區別于其他學科的顯著特征，也是數學學習難度大的原因之一。數學內容的抽象性給學生學習造成接受上的困難；結構的嚴謹給學習數學造成理解上的困難；應用的廣泛造成掌握上的困難；數學發展的連續性決定數學知識是連續的，要明白后面的知識，必須懂得前面的內容。間斷的學習、非系統的學習是很難學懂的。

2、數學教學教育觀念的原因

長期以來，人們把數學當作升學就業所必須掌握的知識，學習數學是一種任務，無形中有一種負擔和無奈在里面。加之大學數學教師上課時，仍然是強調高數在畢業、升學、就業的必要性，忽視高數對學生進行思維、能力、情感、素質以及推動社會發展的功能介紹，讓學生更進一步加重了發愁、壓抑、沉重感，給高等數學學習造成心理上的困難。

3、數學教材的原因

目前的高等數學教材存在過于理論化的弊端，為了知識的邏輯性，將原來數學形成的歷史實際一掃而空，剩下的只是公式的堆積和字母數字的堆砌，學生們根本看不到活的數學。看不到知識、概念產生的來龍去脈，不便于理解和接受，這也是造成高數學習困難的又一個原因。

4、數學教師的水平及對數學的理解

受到數學教師的自身水平限制，缺乏對數學知識和文化的真正理解。大多數教師仍是以教材為范本，教師堂上一味地講，學生臺下被動地聽。枯燥、乏味、難理解，就自然而然地成為數學的代名詞，難以使學生產生對數學學習的興趣，使數學變得神秘化、復雜化、符號化。

三、應該怎樣做

1、授課內容上要與時俱進

微積分理論是高等數學中一個重要的內容。這一理論從牛頓2萊布尼茲時代算起，已有300 多年的歷史。150 年來，大學數學教材里一直是按照那時形成的理論講授微積分的基礎內容的。總是先介紹極限理論，然后介紹微分理論，接著從原函數的角度引入不定積分，之后是一大堆的不定積分方法的介紹，最后才是定積分。當然我們不是說這種方式不好，而是覺得這種統一的按部就班的模式“太過平靜，缺乏個性”。

雖然我們現在學習的微積分理論是幾代人不懈的努力得出的經驗，也經過了時間的檢驗，卻不代表我們不能在其基礎上追求創新和發展。例如，數理邏輯學家羅賓遜用模型論的方法證明，實數結構可以擴張為包含無窮小和無窮大數的結構，從而創立“非標準分析”。這樣可以不用極限概念，直接從牛頓—萊布尼茲時代提出的的“無窮小”出發建立嚴謹的微積分；林群院士采用“一致微商”的定義簡化了微積分基本定理的論證；張景中院士用與林群院士不同的方法實現了微積分的初等化。

我們應當在教學中嘗試用新的方法來講述經典的內容。使現在困惑我們的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解。這就要求我們的教材要不斷的更新和進步，以適應當前的發展和需要。

除此以外，應該在授課內容上給教師以足夠的靈活處理的空間。科學技術日新月異，數學教學也要與時俱進，給教師一些活動空間，對培養高素質創新型人才大有好處。

2、充分利用直觀形象的教學手段，變抽象為直觀，變難為易

許多學生都反映高數難學，其中的一個原因就是數學的抽象性。高等數學中的很多定義、原理、定理、證明等等，都是抽象出來的數學語言，對許多剛剛接觸高等數學、比較缺乏數學思想訓練的新生而言，這些數學語言和數學概念都是非常模糊的、難以理解的、不生動的。對于這些抽象的理論，如果能夠用直觀的圖像予以圖示，可以使人更深刻的理解其意義，把握其思想方法，迅速地理解掌握。我們對此有著深刻的體會，在高等數學中，有一個隱函數的存在性定理，這個定理在工科的高等數學教學中是不予證明的。是不是這個定理就不重要，當然不是！事實上，這個定理的證明比較繁雜，初學者很難快速理解定理的證明思路，我們通常的做法是要求學生直接記住結論，而不做額外的說明。可這樣做的結果是學生是知其然而不知其所以然，也很難真正的理解和掌握它。教學實踐中，我們通過一些直觀的幾何圖形輔助說明，這個定理的證明思路就是很容易被學生理解和接受了。

因此直觀模型不僅能夠幫助人們理解深刻復雜的理論，也可以幫助人們開展創新思維。在可能的情況下，在高等數學的教學中使用直觀的方法，可以使學生理解更為深刻清晰，記憶更為牢固，短時間內接受一些復雜的思想，提高課堂教學效率。

3、加強數學知識之間、數學知識與其它學科知識之間的融會貫通

科學知識的增長是非線性的過程。在19世紀變革與積累的基礎上，20世紀數學呈現出指數式的飛速發展。現代數學不再僅僅是代數、幾何、分析等經典學科的集合，而成為分支眾多的、龐大的知識體系，并且仍然在急劇地變化發展中。

因此，我們的教學不能只停留在單一的層面上，而應該注重強調知識的關聯性、系統性，加強同一門課程不同知識點、不同課程的相關性和交融性教學，比如極限、導數、積分、級數等關系是什么？微積分、線性代數、復變函數等中起至關重要作用的知識點是什么？微積分與物理學之間有著什么樣的聯系，具體地說，有線性微分方程解的可疊加性與電磁場場方程的線性是什么關系；Euler 公式與電磁理論有什么關系；基本函數族及其正交性與光的非相干疊加有什么關系等等。我們的學生能夠體會數學知識之間的融會貫通和緊密相關性嗎？能夠體會數學學科與其它學科之間的緊密關聯性嗎？

4、要引導學生提出有意義的問題

在我們看來數學教師要交給學生兩樣東西，一是數學思想，也就是讓學生學會用數學的思想方法去思考和解決問題，二是應用能力，也就是讓學生學會用數學家的眼光去發現問題并進行歸納。從這個意義上說，數學老師要做兩件事，第一，在現實與數學的鴻溝之間架設一座橋梁，第二，將數學思想融入數學知識的講授中，也就是說，不僅要教給學生解決問題的方法，更重要的是要讓學生明白，什么樣的問題是重要的？如何采用合適的方法分析和解決這些問題？

“提問題”也是讓學生參與教學活動的一種有效的方法，同時也能培養學生勤學好問的習慣。因此每介紹一個新的概念和理論，首先應該向學生闡明概念和理論的背景，也就是說應該先明確要探討什么問題？為什么要探討這樣的問題？例如，定積分產生的一個重要背景就是解決面積問題。事實上，微積分產生之前，面積問題只是紳士們的奢侈品，一般人是不敢問津的，只有在牛頓—萊布尼茨公式產生之后，面積問題才變得相對平凡。有了問題，才會有解決問題的沖動，才會進一步思考、學習和研究。

5、加強數學知識的應用性教學

時代的發展需要更多的高素質人才，他們除了要學好豐富的理論知識之外，還必須學以致用，這樣才能推動時代的發展。我們學數學的目的是為了應用它去解決實際問題。因此，在當今的大學本科教學中，重視數學知識的實際背景，加強應用數學意識與能力的培養，是十分必要和迫切的任務。

現代數學正在向包括從粒子物理到生命科學、從空間科學到地球科學在內的一切科學領域進軍。例如，相對論和量子力學的創立和發展離不開張量分析、無窮維空間這兩種數學工具；著名的楊—米爾斯理論也依賴于微分幾何中聯絡這一概念的發展；解開DNA 雙螺旋結構之謎的鑰匙是拓撲學中的扭結理論。

當今，數理統計應用于遺傳學；概率論應用于人口統計和種群理論；微分方程應用于各種生物模型的建立；布爾代數應用于神經網絡描述；數值模擬已成為的有效工具，類似的數值模擬方法應用于航空、航天設計、核工業在內的許多技術部門，以代替耗資巨大的試驗；小波分析直接應用于通信、石油勘探、圖像壓縮等技術領域；現代醫學儀器工業也離不開數學(如CT 掃描儀的研制，就是以現代數學中所謂“拉東積分”理論為基礎) 等等。這樣的例子舉不勝舉。

“數學物理”、“數理化學”、“生物數學”、“數學地質學”、“數理氣象學”……，一連串交叉學科的形成說明了數學向其它自然科學領域滲透的廣度。因此，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力，是每位數學教師面對的課題。力求將“應用性教學”思想貫穿整個教學過程，只要可能，都應該提出應用的問題和可應用的方面。

參考文獻

[1]李文林．數學史概論(第二版) [M]，186 - 187，247 - 255．北京：高等教育出版社，2002．8．

[2]林群．A Rigorous Calculus to Avoid Notions and Proofs[M]．Singapore，World Scientific Press，2006．

[3]張景中．微積分學的初等化．華中師范大學學報(自然科學版)，2006．12．

[4]同濟大學數學教研室．高等數學(上、下冊) [M]．第六版．北京：高等教育出版社，2007．4．