“游戲公平”教學紀實與評析

郭廣成　王　宏

教學內容：北師大版小學數學4年級下冊。

教學目標：

1.根據生活經驗和實驗數據，判斷游戲規則的公平性。會設計對雙方都公平的簡單游戲的規則。

2.通過游戲活動，體驗事件發生的等可能性和游戲規則的公平性，進一步體會不確定現象的特點。

3.能積極參與游戲活動，主動與同伴交流自己的想法。

教學重、難點：使學生通過各種數學實驗活動，體驗兩個事件發生的等可能性和游戲規則的公平性。

教具準備：教師準備寫有數字的乒乓球若干個。學生準備骰子、硬幣……

教學過程：

一、情境引入

師：同學們，喜歡玩游戲嗎?

師：昨天我在書店門口看到了有人在舉辦抽獎游戲。一個中年男人手中拿4個乒乓球，球上分別寫著0、1、2、3等數字。抽一次2元錢，每次抽兩個球。如果兩個數的和是雙數，就可以得到價值為6元的精美毛絨玩具。(出示玩具圖。)

(生開始議論起來。)

精美的禮物吸引了學生，學生漸進游戲中。

師：我這里也有和它一樣的玩具，大家玩一下這個游戲好嗎?(學生異常興奮。)

師：誰來呢?(學生紛紛地舉起手來。)

師：我閉上眼睛一指，指到誰，哪位同學就上來，你們覺得公平嗎?

生：公平!

(師閉眼指，一名學生上來參加游戲。)

師：游戲規則知道嗎?

生：知道!

師：你帶錢了嗎?

生：我沒帶錢!

師：這樣先欠著，同學們幫我記賬行嗎?

師：你一定有機會獲得獎品，抽吧!

(師把4個乒乓球放進袋子里，學生抽出0、1。)

師：你很可能得到這個禮物，還想抽嗎?

(生點點頭，師把乒乓球放進袋子里。一共抽5次，第5次抽中。)

師：祝賀你，你獲得了6元的禮物。

(師拿出禮物，生伸手接禮物，師又縮回手。)

師：可是你還欠我10元錢呢?(生點點頭，無語。)

師：禮物我拿回，你還欠我4元錢!

師：(笑著說)郭老師是不會要你錢的，但是這禮物你能很容易地拿走嗎?

生：不能!

生：我覺得這個游戲，輸的可能性很大，怎么玩我們也拿不走。

師：這就不公平，對嗎?這節課我們就來研究“游戲公平”，好嗎?(板書課題。)

模擬街頭一個騙術的場景，激發學生的興趣。

二、實踐探究，體驗公平

師：我們也常常做游戲，游戲總要定先后，大家經常以什么樣的方式定先后呢?

生：可以擲骰子。單數先，雙數后。

生：還可以擲硬幣，比如正面朝上先，反面朝上后。

生：也可以用“石頭、剪刀、布”。

師：看來大家的方法還真不少呢!剛才有同學提到公平，那么這些游戲規則是不是對雙方都公平呢?口說無憑，我們不妨用實驗數據來說話。

師：老師為大家準備了硬幣和骰子，你們可以任選一種進行實驗。

(出示要求：1.同桌之間互拋硬幣(或骰子)；2.共拋20次，一人拋、一人記錄；3.從真填好記錄單。)

師：清楚要求了嗎?

生：清楚了!

師：注意活動時間是5分鐘，開始吧!

(開始活動，教師巡視并參與其中。)

……

師：時間到，哪一小組愿意與大家分享結論?

生1：我認為用擲硬幣的方法決定先后是公平的。大家看，我共擲硬幣20次，其中正面向上10次，反面向上10次，說明正反兩面出現的可能性相等。所以擲硬幣是很公平的。

生2：我不同意。我們得到的結果是正面向上12次，反面向上8次，我覺得不公平。

生3：活動前，我以為一定各10次，可是我們結果與他們相反，正面的只有4次，反面的都16次了，不知道怎么回事。應該是公平的。

(學生三三兩兩地議論。)

師：是啊!最初大家認為公平，可又不是那么回事兒。我想擲骰子的同學也遇到了這樣的問題吧!(學生紛紛點頭。)擲硬幣和擲骰子真的公平嗎?

(教室里立刻安靜下來。大家似乎在思考著什么。)

生1：應該是公平的，硬幣掉下來時，正面朝上和反面朝上的可能性應該相等。是拋的方法的問題，要不就是記錄錯了。

生2：不可能，我倆都說好了：向上拋的時候，高度要相同，要讓硬幣翻動。結果前4次都是正面向上。我還擔心，要是老師只讓拋4次，可能性只有一種了。

(學生又一次地議論起來，此時討論已經陷入僵局。)

師：(指著第二個發言的學生。)剛剛這位同學的發言中提到了“拋硬幣次數”的問題，是否啟發了我們?

生：(恍然大悟)是次數少，才會出現這樣的結果，次數多了，就有可能相等了。

(其他學生紛紛點頭。)

生：我們班46人，共分23組，把23組的結果加一塊進行統計就行了。

師：好主意，那擲骰子的同學怎么辦呢?

生：單數就當做正面向上，雙數就當做反面向上。

師：這個主意好不好?

生：好!

(生匯報。)

師：結果出來了，大家看一看。看到這樣的結果大家又有什么想說的嗎?(結果是正面向上226次，反面向上234次。)

生：全班共460次，正面向上和反面向上的結果只相差8次，已經很接近了，我認為可以說是公平的。

師：同學們說的很有道理。在關于擲硬幣的可能性的問題上，有很多科學家做了實驗。想看看他們實驗的結果嗎?

生：想!

師出示相關數據：

姓名實驗次數正面次數反面次數

德摩根409220482044

莆豐404020481992

費勒1000049795021

皮爾遜240001201211988

羅曼諾夫斯基806403969940941

師：看到這些數據之后，同學們有什么發現?

生：結果是比較偶然的，但是隨著實驗次數的增加，兩種可能性就越來越接近。

師：同學們可真了不起。大家可以通過數據作出分析，而且能夠用極限的思想考慮問題，證明了擲硬幣是公平的。那么擲骰子公平嗎?

生：也是公平的。

師：我們為什么說擲硬幣和擲骰子是公平的呢?

生：因為它們正面向上或是反面向上，單數或雙數的可能性相等。

師：(板書：可能性相等。)透過現象看本質，我們判斷一種游戲是否公平的標準是什么呢?

生：看一看可能性是否相等。

針對實驗反映出的現象，引導學生發現“可能性相等”的游戲才是公平的

三、修改、設計公平游戲

師：說得好。剛剛說到擲骰子也是公平的，笑笑也想用擲骰子的方法來確定先后。看看她是怎樣想的。

(出示：大于3點時，小明先行；小于3點時，小華先行)

師：你們認為這樣公平嗎?我們可以在小組中進行討論。(小組討論。)

生：我們認為不公平，因為大于3，可以擲4、5、6，而小于3，只有1、2。可能性不相等，所以不公平。

師：大家能修改笑笑的方法，使它對雙方公平嗎?

生：改成大于3時小明先，小于等于3時小華先。

生：大于3時小明先走，小于4時小華先走。

生：大于4時小明先走，小于3時小華先走，其他點數重新再擲一次。

……

變式的練習，強化知識要點。

師：大家想出的方法都很公平。生活中不僅僅是擲硬幣和擲骰子可以設計公平的游戲，利用轉盤也可以設計公平的游戲。(出示超市的情境圖。)

師：這是一家超市進行消費抽獎活動的轉盤，你們覺得公平嗎?

生：不公平。因為一等獎的面積小，二、三等獎的面積也不大。

師：如果讓大家設計這樣一個公平的游戲，你們打算怎樣畫這個轉盤?打開學具袋，里面有一個轉盤，大家可以試一試。

(生嘗試畫出轉盤。)

(師選擇3個作品進行展示。)

師：同學們認為這3位同學畫的轉盤，游戲起來公平嗎?

生：公平!

師：為什么?

生：因為人們獲得一、二、三等獎的可能性相等。

四、實際應用，拓展延伸

師：其實在生活中，我們可以設計很多公平的游戲。同學們想一想，把自己想的游戲在小組內說一說，大家幫助分析一下，看一看是否公平。

(學生互相說出游戲，并進行分析。)

師：時間的關系，我們就說到這里。大家還記得課前我們做的那個游戲嗎?

生：記得。

師：這個游戲公平嗎?

生：不公平。

師：為什么不公平呢?我們可以再討論一下。

生：我們認為是不公平的。0+1、0+3、2+3、2+1是單數，而0+2、1+3是雙數。單數有4種可能，雙數有兩種可能，可能性不相等。

生：可能性是不相等，但你說的不對。單數：0+1、0+3、2+3、2+1、1+0、3+0、3+2、1+2；雙數：0+2、1+3、2+0、3+1。單數有8種可能，雙數有4種可能。

師：這位同學考慮問題非常全面!這里不僅是組合的問題，還有順序的問題。想知道，那位在街頭玩這游戲的中年男子在半小時以后是什么樣嗎?

生：想!

師：(出示一個男子被警察抓住的圖片。學生鼓掌。)同學們，這是一個騙局。他利用不公平的游戲騙錢，甚至進行賭博，罪有應得。其實他的伎倆很笨拙，只要我們善于思考就會揭穿他。

師：這節課我們學習的知識有用嗎?

生：有用。

師：怎樣才算公平呢?

生：可能性相等。

首尾呼應，引導學生利用所學作進一步分析，進行思想教學。

師：對了!這節課就上到這里，下課!

評析：

聽了郭老師的這節課，引起了我的思考。我認為郭老師的成功之處有以下幾點：

一、巧妙地引入，激起學生對數學知識的關注

郭老師是一個善于觀察生活的人，他發現了街頭的一個騙局。經過加工和整理后，郭老師把它引入了課堂，學生馬上興奮起來。學生自然更多地關注獎品的誘惑，欲罷不能。加上郭老師具有心理暗示的激將法語言，學生漸漸地進入情境，置身于騙局中。當學生發現結果和想象不同時，便開始思考：“為什么?”這正指向了“公不公平”的問題，學生的關注已經不再是禮物，而是數學知識。從這種由表及里、絲絲入扣的引入，可見郭老師用心良苦，這也正是他的巧妙之處。

二、寬松的氛圍為學生創造暢所欲言的機會

聽了這節課之后，我想說這些學生是可愛的。我們可以看到學生此起彼伏地站起來表達意見的情景。他們在課堂上善于質疑，樂于辯論。這樣的課堂，是大多數教師預設不出來的，而是生成出來的。究其原因，這與郭老師長期的培養是分不開的。綜觀整節課，課堂充滿了寬松民主的氣氛，郭老師多次組織學生同桌之間，小組之間進行交流。學生表達自己意見的機會很多。長此以往便會養成事事探個究竟，辨個明白的習慣。

三、適時的點撥將學生引向更深層次的思考

郭老師是一個智者，給我印象最深的是當學生在擲硬幣活動后，發現想象和結果有很大差距時，一位學生說：“我倆都說好了：向上拋的時候，高度要相同，要讓硬幣翻動。結果前4次都是正面向上。我還擔心，要是老師只讓拋4次，可能性只有一種了。”這是一個很棘手的問題，也正是這本節課最難處理的問題。郭老師卻智慧地說道：“同學們，剛剛這位同學的發言中提到了‘拋硬幣次數的問題!是否啟發了我們呢?”把學生引向了實驗次數與結果之間關系的研究。郭老師把握住了這個機會，做了一次巧妙的“二傳”，確定了學生的研究方向。

四、及時的提升使學生發現數學知識的本質

當全班學生實驗的結果統計出來的時候。結果還是相差。這是意料中的事情，郭老師沒有牽強而是讓學生觀察一些數學家做的實驗統計結果。這時學生在心中存在的疑惑便解開了。這是一次及時的提升，學生發現了概率的特點。記得有一位學生說出來“偶然”一詞，說明他們已經意識到再公平的游戲也有其偶然性。也正是這種偶然性的存在。游戲才變得那樣具有魅力。郭老師及時地提升：“同學們可真了不起!大家可以通過數據作出分析，而且能夠用極限的思想考慮問題，證明了擲硬幣是公平的。”這樣的話語直指數學知識的本質，從另一個側面也可以看出郭老師對數學知識的挖掘很精深。

五、首尾的呼應充分體現數學課堂的結構美

全課以“騙局”展開。再以它結束，其含義也是相當深邃的。一方面，郭老師將它引入新課研究數學。另一方面，這種“惡有惡報”的大結局弘揚了正氣，對學生的人生觀、價值觀起到了積極的影響。這是一種情境美，是一種結構美，也是一種心理美。