“整數乘除”內容分析與教學建議

朱宇輝

[編者按]

蘇教版國標本小學數學教材根據《數學課程標準》的要求，在內容編排上與以往教材有著很大的不同，其中最典型的就是比較合理地編排了各冊的教學內容，一些教學內容由原來的整體整塊呈現變為分年級、分冊呈現，體現了知識學習螺旋上升的要求，更加適合學生在不同認知水平上的學習。一些習慣于以往教材教學的老師隨意提前教學后續內容，輕易拔高教學目標和要求，對學生的學習產生了負面的影響。怎樣在整體上把握這些教學內容的前后聯系?怎樣根據不同年段學生的認知特點和認知水平進行相應內容的教學?這些問題的解決有助于教師更好地教、學生更好地學。為此，我們從蘇教版國標本小學數學教材中選擇了5個較為典型的“知識塊”——整數乘除、分數、可能性、式與方程和平面圖形的面積，通過教材各冊相應內容分析和教學建議，整體把握教材，弄清知識的前后聯系；通過單冊教材典型案例的設計與分析，探討如何具體把握教材內容與學生認知水平之間的關系并據此教學；通過對該內容典型習題的分析，探討如何準確地了解和刻畫學生的學習水平和能力。最后，我們還邀請了蘇教版國標本小學數學教材主編王林老師，對如何深入把握和理解教材，如何準確把握教材中上述內容的特點和教學中應注意的問題，給老師們提出了指導意見和建議。希望這組內容對老師們理解和實踐教材有啟發和幫助。

一、內容分析

蘇教版小學數學教材中有關整數乘除的內容主要安排在二至四年級，縱向看，整數乘法按照如下順序編排：[二年級上冊]乘法的意義和表內乘法→[二年級下冊]兩位數乘一位數→[三年級上冊]三位數乘一位數→[三年級下冊]兩位數乘兩位數→[四年級上冊]100以內的口算乘法→[四年級下冊]三位數乘兩位數。

整數除法按照下面的順序編排：[二年級上冊]除法的意義和表內除法→[二年級下冊]有余數除法→[三年級上冊]兩位數除以一位數(商是兩位數)→[三年級下冊]三位數除以一位數→[四年級上冊]三位數除以兩位數。

橫向看，在每一冊的教材安排中基本都涉及了口算、筆算、估算和解決問題這幾方面，并且整數乘除的內容在教材中遵循了循序漸進、螺旋上升的原則。

1、整數乘除法教學中的情境設計。

小學生對算術運算概念的理解常常建立在情境的基礎上，為了在情境與運算概念中建立聯系，就要利用情境，也就是為學生提供豐富的表征。這些表征包括：以經驗為基礎的活動；可操作的活動；圖畫和圖表：口頭語言；書面語言。教材中對情境的設計與處理較好地體現了多樣化的原則。

以乘除法的意義教學為例。乘法意義的教學為學生提供了一幅生動活潑的圖畫(見下圖1)，再提出問題：兔一共有多少只?雞呢?這種類型的圖畫是學生在日常生活中常見到的，看這樣的圖學生很有經驗，這就是以經驗為基礎的活動。

除法意義的教學創設了一個開放的活動情境——分6個桃(見圖2)，在教學之前學生都有分東西的經歷，學生可以按照自己的想法思考并動手操作分這6個桃，這就為學生創造了一個具有操作性的活動情境。

再看表內乘除法的計算教學，也為學生提供了豐富的表征。如2～4乘法口訣的教學(見圖3)，在學生通過情境圖掌握2、3的乘法口訣后，列表編寫4的乘法口訣；又如表內除法的教學中(見圖4)，讓學生利用10個小朋友打球，每2人一組的情境圖，理解除法算式10÷2。這些都是以圖畫或圖表的方式幫助學生建立表征。

教材中關于乘除法意義的教學都是創設了不同的情境，聯系學生的生活，激活學生的經驗，把抽象的概念教學建立在實景、實物表象的基礎上。學生有了多樣化的經驗后，有助于他們對抽象數學知識的理解并建構數學知識的意義。

2、整數乘除法教學中的數學思想。

小學生學會了整數乘除法，并用它來解決問題，在這樣的學習過程中，也形成了他們思考問題的策略，并從中感受各種數學思想。教材在數學思想方面也作了許多孕伏和滲透。

(1)滲透函數的思想。

函數的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系。小學生對函數的理解不是符號化的理解，而是在現實生活中的體驗。小學生對于函數的體驗是在日常的數學生活實踐的基礎上獲得的，它和問題情境緊密相關。例如三年級上冊教材中教學三位數乘一位數(乘數中間或末尾有0的乘法)的練習部分設計了一道關于乘法填表練習(見圖5)，讓學生先填表，然后通過觀察體會匾的個數和蠶繭的個數之間的依存關系和變化規律。

這就是通過表格的問題情境，結合不同乘除教學內容進行的一種函數思想滲透。

(2)滲透比例的關系。

比例是一個總體中各個部分的數量占總體數量的比重，用于反映總體的構成或者結構，比例也是一種函數思想。小學生對比例關系的體驗也是需要在現實問題情境中進行的。雖然教材在六年級有單獨教學比和比例的單元，但其實在之前就進行了逐步滲透。例如四年級上冊的除法練習中設計了一道填表的題(見圖6)，讓學生先填表再說說發現。學生不僅會發現被除數和除數之間的倍數關系，也可以通過觀察被除數自身的變化或除數自身的變化，發現其中的倍數關系。這就是結合倍的知識在滲透比例的關系。

(3)滲透“不變量”。

三年級上冊乘法單元中涉及“單價、數量、總價三量的關系”問題，當總價和數量這兩個變量發生變化時，單價保持不變，單價反映了總價與數量之間的關系，像這樣的量就是“不變量”。例如四年級上冊除法單元中三位數除以整十數練習部分的一題(見圖7)，不變量是長方形土地面積，學生也能從面積不變中體會長和寬這兩個變量的變化規律。

3、整數乘除法教學中的數學能力。

(1)估算能力。

估算是重要的數學技能，估算在一定程度上反映出學生的數學能力，對學生的數學思維發展具有促進作用。蘇教版教材中，估算教學與口算、筆算的教學相結合，逐步滲透進行。整數乘除的估算第一次出現在二年級下冊連續進位乘的前一個練習中(見圖8)，第一次在例題教學中出現是在連續進位乘的筆算教學中(見圖9)。這兩次估算教學都體現了估算的同一種策略——簡約，把兩位數看成一個整十數計算比較簡單。

(2)口算能力。

口算能力是指不用紙筆，直接在腦中進行計算的能力，在計算能力中占有重要的位置。是筆算與估算的基礎。口算常常會用到估算的策略，但是口算是為了得到一個準確的答案，筆算能力是在口算能力的基礎上發展起來的。教材中口算部分的編排與估算類似，都采用了逐步滲透的方式。小學生口算內容的核心是基本口算，在整數乘除內容中主要是指乘法口訣。

除了表內乘法和表內除法的教學，教材中其他整數乘除的口算教學基本上是滲透了一種策略，我們可以把它理解為一種“分解因數”的策略。以各冊教材中的一道乘法口算練習為例(見圖10)，這些練習都是把其中的一個乘數分解成一個數乘10或乘100，使計算簡便。

二、教學建議

1、乘除法概念的正確建構。

乘除法是繼加減法后再學習的一種運算，學習乘除法時，學生在理解乘除法的過程中，數學思維會發生重要的變化。

(1)乘法概念的建構。

求幾個相同加數的和就是乘法，這句話可以理解為加法在某種程度上是乘法的基礎，解決乘法運算的方法之一就是重復做加法。但如果將乘法僅僅看成是復雜的加法，顯然是不對的，乘法需要小學生更多的數學理解。例如，教材中教學2的乘法口訣時所呈現的是一個生活情境(見圖11)：1個蹺蹺板可以坐2人，2個蹺蹺板可以坐4人。其實這是一個“一對多”的情境，1個蹺蹺板對應2個人(1與2對應)，2個蹺蹺板就是2乘2得4。它并不是簡單的幾個相同數相加的問題，而是兩個集合之間的一與多相對應的恒定關系。這種方法與加法思維方式具有本質區別。

(2)除法概念的建構。

除法概念的建構是基于平均分的活動的，平均分的活動雖然也和加減法一樣，涉及總體與部分的關系，但是也有很大的不同。在加減法中，整體是部分之和，但每一部分無需相等。如二上認識除法的例題教學中(見圖12)，第一種分法就是基于加減法的理解，第二種和第三種分法就要考慮3個因素：總個數、平均分和每份同樣多。所以，平均分是一種不同于加減法的新情境。

2、整數乘除法教學需要一定的記憶。

口算是筆算的基礎，能熟練口算，特別是基本口算，對筆算具有重要作用。這里的基本口算主要指乘法口訣，這也是口算表內除法的基礎。張奠宙說：“沒有記憶就無法理解，理解是記憶的綜合，數學雙基強調必要的記憶。”乘法口訣的教學需要記憶，課程標準也要求在第一學段結束時，口算要達到每分鐘8-10題。因此，在教學時可以從以下幾方面入手：

(1)利用乘加、乘減教學，幫助記憶乘法口訣。

教材中乘加、乘減教學的主要目的并不是為了教學運算順序，而是讓學生進一步理解乘法的意義，記憶乘法口訣。例如乘加乘減課例中的一道練習題(見圖13)，就是用意明顯的特別設計。其中3×2+2可以理解為3個2加1個2是4個2得8，滲透的是相鄰乘法口訣之間的聯系，這有助于學生有意義地記憶乘法口訣。

(2)利用多樣化的活動練習，幫助記憶乘法口訣。

小學生解決基本乘除口算題的策略中有一種稱為“直接提取”，使用這種策略時，這些計算已經在學生頭腦中有一定的答案，他們所要做的是從長期記憶中提取出來。有研究表明。口算熟練的學生和不熟練的學生相比，前者更偏好使用“直接提取”，而后者難以做到。所以，在教學時要更加關注口算不熟練的學生。教材中采用了多種練習方式幫助學生記憶口訣，如編口訣，整理口訣，積累口訣，題組練習等。教師在教學中也可以組織學生通過不同的方式練習口算，比如獨立口算，兩人互相出題口算，三人或四人口算比賽，集體搶答等。

3、加強估算教學。

估算在生活中有著廣泛的應用，一個人在日常生活中使用估算的次數要遠遠大于精確計算。在整數乘除教學中，估算的教學與筆算的教學總是緊密結合的，教師要注重發展學生的估算意識和估算策略。小學生估算常用的策略主要有簡約、轉換和補償，但是不同的學生對同一題使用的策略常常不盡相同。例如三年級下冊兩位數乘兩位數的估算(見圖14)，學生在估算29×42時就會出現不同的方法，有的把29和42分別看作20和40；也有的把29和42分別看作30和50；還有的把29和42分別看作30和40。這三種方法采用的策略都是簡約，把兩位數看成整十數再算，但是使用第三種方法的學生還涉及了其他數學思維過程，可以解釋為“29接近30，42接近40，這樣估計的結果趨于精確”。前兩種方法雖然沒有第三種精確，但也是正確的。教師可以在筆算教學完成后讓學生比較一下估算與筆算的結果，逐步幫助學生優化估算策略。

4、注重培養學生解決問題的能力。

解決問題與計算教學相結合是蘇教版教材的特色之一。在計算教學時穿插解決問題，又在解決問題中鞏固計算，同時滲透解決問題的策略，將為第二學段專門學習解決問題的策略打下堅實基礎。比如教材在第一學段解決問題時以圖文結合的方式呈現問題情境，設置“情境”就是一種策略。用人或物模擬問題情境，不僅使學生更清楚問題，還便于用語言具體敘述，易于理解。又如四年級上冊除法單元的練習題(見圖7)，如果將這題的發現應用到下面一題(見圖15)，這種“延伸”策略，會有利于學生對具體問題的理解和解答。

食堂買來40筐西紅柿，用去800元。

(1)平均每筐西紅柿多少元?

(2)如果每筐西紅柿的價錢降到原來的一半，用800元可以買多少筐這樣的西紅柿?