老師，這種方案不合理

周小明

“數學課程標準”在課程目標中鼓勵學生“嘗試從不同角度尋求解決問題的方法,并能有效地解決問題”,并“在獨立思考的基礎上,積極參與對數學問題的討論,敢于發表自己的觀點”;還要求學生面對實際問題時“能綜合運用所學的知識和技能解決問題,發展應用意識,形成解決問題的一些基本策略,體驗解決問題策略的多樣性,發展實踐能力與創新精神”.這說明:數學課堂不只是教師表演的舞臺,更應是師生之間交流、互動的平臺;數學教學不只是傳授知識的過程,更應是探究知識的歷程;數學學習的目的不只是掌握數學理論,更應是解決實際問題.這對教師提出了更高的要求,勢必將課堂教學從“傳授中心”轉變為“對話中心”,將教師的角色由“知識熟練者”轉變為“探索實踐者”.

為了培養學生的探索能力和應用意識,我經常拿出一些實際問題給學生思考,來看下面一個案例.

案例:甲、乙、丙三位同學合乘一輛出租車同往一個方向,事先約定三人分攤車資.甲在全程的1/3處下車,乙在全程的2/3處下車,丙坐完全程下車,車費共54元.問甲、乙、丙三位同學各付多少車費比較合理?請你設計一個方案.

問題很快就得到了解決,學生A的方案是這樣的:

甲乘坐的路程是全程的1/3,乙乘坐的路程是全程的2/3,丙乘坐的路程記為1/3+2/3+1=2.

甲、乙、丙三位同學乘坐的路程之和為1/3+2/3+1=2.

按每人乘坐的路程之比來分攤車資:

甲應付(1/3÷2)×54=9(元),

乙應付(2/3÷2)×54=18(元),

丙應付(1÷2)×54=27(元).

這正是我在教案中所使用的方案,很多學生也是如此解決的.“非常正確!”我迅速地作出了判斷(這個判斷差點成了今天錯誤的結局).我隨便問了一句“還有沒有其他的方案?”和往常一樣,這句話讓我得到了意想不到的收獲!

這句話過后,教室里是一片寂靜,千萬不要忽視這份寂靜,伴隨著寂靜的是學生思維的高速運轉,這份寂靜是學生智慧的火花爆發前的信號!

不久,一只手慢慢地舉了起來.并將自己的想法說了出來.

生B:周老師,我覺得這種方案不合理.

(此話一出,全班皆驚!我們都等著他的下一句話.)

生B:老師,我知道出租車是按行駛的路程計價的,而不是按每個人乘坐的路程來計價的.

師:(不解地)你認為這兩種路程有什么區別嗎?

生B:舉個例子吧:乘出租車從昆山到上海,50公里付100元車費,1個人乘坐的話,那么這個人就應付100元,2個人乘坐的話,按行駛路程付費每個人只要付50元,按乘坐的路程付費每人就得付100元.這50公里出租車司機就重復收費了.

學生一聽,果真不一樣!于是大家作出了一致的判斷:“傻瓜才按乘坐的路程付費!”

師:(抓住時機)想必B同學已經有了合理的方案了,請其他同學思考一下,怎樣付費比較合理.(同時我也在尋求新方案.)

短暫的討論之后,新的方案出來了!

生C:全程共付費54元.

那么全程的1/3應付費1/3×54=18(元).

前1/3由甲、乙、丙三人共同乘坐,甲、乙、丙三人各付6元.中間的1/3由乙、丙二人共同乘坐,乙、丙二人各付9元.最后的1/3只有丙一人乘坐,丙獨自承擔最后的18元.

所以甲付6元,乙付6+9=15元,丙付6+9+18=33元.

問題圓滿的解決了,師生都沉浸在勝利的喜悅中,我也準備舒口氣了.多年的教學習慣使我順口問了句:“還有什么問題嗎?”本以為問題到此為止,沒想到今天的這句話卻引出了本課討論的高潮.

生D:(意猶未盡)為什么出租車按行駛路程收費才合理?而火車卻按每個人乘坐的路程收費?

剛剛放松的心一下子又緊張起來,怎么辦?這個問題并不在教學計劃中,并且這個問題我還從來沒有考慮過!要是此時收場的話還可以控制,但是一旦收場必然傷害了學生探索的積極性和質疑的心!瞬間的權衡之后我作出了選擇:讓學生自己繼續探討,同時也給自己一個思考的空間.

經過3分鐘激烈的爭論后,學生大都形成了自己的觀點.而這時的我也已經輕松了很多,因為我已經有了我自己的思路了.我還是堅持先聽聽學生的見解.

生E:一般出租車都是按次數出租的,它的成本幾乎只和行駛的路程有關,中間基本上不會有什么人上下車,所以只需收一次費用,那么按行駛的路程付費是比較合理的.而火車從起點到終點之間還會停靠其它車站,不斷的有人上下車,需要收很多次費用,那么按乘坐的路程購票方便.所以收費的次數是很重要的原因.

生F:我覺得最重要的是乘坐出租車的人員在上車那一刻起就是固定不變的,而火車的乘坐人數卻是變化的,如果也按行駛路程付費的話,這筆費用該怎么分攤是很難計算的.所以我覺得最主要的問題是乘坐人員的變化.

生G:出租車是先乘坐后付費的,所以按行駛路程付費很方便,火車是先付費后乘車的,所以只能按乘坐的路程付費了!我覺得和付費的先后方式有關.不過如果火車也向出租車那樣先乘車后付費就好了!

在肯定了三位學生的想法之后,我突然對學生G的建議很感興趣.

師:這個想法很有創意,你是怎么考慮的?

生G:暑假我乘火車回老家時,車廂里空蕩蕩的,很舒服,過年回老家的時候車廂里實在太擠了,氣都透不過來,可是票價卻和暑假是一樣的.我覺得這是不合理的.

此番言語引起了飽受“春運”乘車之苦的同學的共鳴,打開了大家的話匣子,教室里沸騰了,大家一致認為火車行駛路程不變的話,運行成本也是不變的,那么乘坐的人多的話每人付的車費就應該少些才對.他們在歡呼!為自己給鐵道部找到了一個“合理”的收費方法而歡呼!

如此一發不可收拾,讓人既意外又激動!作為老師,我知道學生提到的“合理”的方法是有合理的因素的,但卻存在著操作上的極大困難!既不能打擊他們,又不能太順從他們.

師:你們剛才為鐵道部解決了一個大難題啊!鐵道部一定會感謝你們的(學生在自豪的笑).不過火車的運行成本不僅僅是和行駛的路程有關的,還包括各個車站對乘客的服務和管理,如果下車買票的話,如何控制上車的人數、避免“春運”時大家一窩蜂擠上車而導致混亂都是車站要考慮的問題,還有如何統計乘客是在哪個車站上車哪個車站下車的?下車后如何補票等,這些都是繁雜的工作,必將耗費更多的人力去解決,這是一個系統的統籌工程(笑聲逐漸停止,學生若有所思).當然這些問題如果有什么好的解決方法可以和我繼續交流,也可以同學之間相互交流.我相信你們一定可以找到解決這些問題的方案,我們可以把我們想到的這些合理的想法整理出來寄給鐵道部,幫助他們一起解決“春運”難題!(學生信心大受鼓舞,有躍躍欲試的沖動!)

已經臨近課堂結束了,按既定教案上課已是絕不可能!收場吧!于是我對此課作了適當的總結:這節課我們用所學的數學知識解決了一個生活中的問題,我們看到生活中的數學問題與書本上的數學知識有很大的關聯,卻又不盡相同.一方面,我們要明白書本上的數學問題是從實際生活中的數學問題中做適當簡化、抽象出來的數學模型,這說明數學源于生活;另一方面,在我們運用數學知識解決實際問題時,要考慮問題的實際情況,讓數學更好的服務于生活!好了,同學們,把我們這節課的感受寫出來吧,就算是今天的作業,OK?

學生齊聲答到:OK!(下課后,學生討論的興致依然很濃.)

一個問題已經解決,但這個小問題的探究卻導致我沒有完成預先的教學任務,引起了我的反思.

一是由于課前沒有沒有對問題進行深入的探究,從而導致考慮問題不全面,差點給了學生一個錯誤的結論,這件事時時催我上進,我深深的意識到,新的教學理念,對教師的要求更高了,要求教師做研究型的教師,每節課都要精心準備,來不得半點馬虎!

二是如何處理“預設”與“生成”的關系?一方面,教學是一個有計劃、有目標的活動,課前的精心準備是必不可少的,這是保證課堂知識科學性、準確性的前提;另一方面,教學已不再只是一個“傳授”的過程,而是一個“對話”的動態過程,教學雙方智慧的顯示、碰撞、融合是交互變通的,這是師生實現交流和互動的必然,也是為學生的發展創造條件.因此,教師在備課進行預設時,就應該富有彈性,并留有余地,從而在實施過程中根據教學的進程,不斷調整自己的教學行為,順應學生精彩的動態生成.

三是強調教學“生成”,并不是意味著可以盲目地無限制地走下去,由于學生的年齡特征和認知水平的限制,看問題難免片面和武斷,教師的適時介入及適當提升,依然是引領學生走出迷宮、不致誤入歧途的向導.

四是數學應用能力的培養,不能僅局限于數學知識上.正像夸美紐斯所說的:人們學習的每件事都是充滿聯系的.數學也是具有豐富聯系的,在強調數學內部聯系的同時,還必須重視數學跟外界的聯系.教數學的老師不可能浮在空中,而學數學的學生也必然是屬于社會的,學生不可能生活在純數學的社會里,所以我們教師必須明白的是:學生學習哪些數學似乎是無關緊要的,只要它聯系著生活、聯系著社會,因為只有聯系的,才是最具活力的!才能更加促進學生的可持續發展!

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編輯/張燁