幾何畫板在高中數學教學中的運用

于　曉

[摘要]幾何畫板的應用為數學實驗提供廣闊空間，為數學探究提供有力工具，為“以學生為主體”的教學思想的體現提供條件，使個別化教學成為可能，能使抽象的教學內容形象化，有利于知識的獲取和保持。

[關鍵詞]數學教學 信息技術 課程整合

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2009）0720148－01

信息技術與高中數學有效整合，首先應該構建一個適合教學的現代信息技術平臺，我們選擇了“幾何畫板”、“立體幾何畫板”和“數學實驗室”等輔助教學。“幾何畫板”提供了數值運算、函數運算、平面圖形、函數圖象的繪制等強大的功能，并有較大的開放性和二次開發空間。下面結合教學實際談談幾何畫板在高中數學教學中的運用。

一、幾何畫板的應用為數學實驗提供了廣闊空間

如：已知集合A＝｛y|y=2x，x∈R｝，B＝｛y|y=x2，x∈R｝，則A∩B的集合個數為。我們知道，此題的關鍵是確定曲線y=2x與y=x2的交點個數，大多數同學都認為只有一個，但實際上是兩個，這兩個交點的坐標為（1，1）和（2，4）。為了說明更一般的情況下函數y=ax與y=xa（a>0且a≠1）有幾個交點，我用“幾何畫板4.07”做了一個課件，通過拖動點P改變a的值從而得到不同的交點情況。實驗的結果是：當a∈（0，1）時恰有一個交點；當a>1時除了在（2.7，2.8）內某個值時只有一個交點外，其它情況都是兩個交點。再通過對這兩個函數的定量分析，可知此值為e。如果沒有計算機強大的數據處理功能，這里的數學實驗是不可想象的。

二、幾何畫板的應用為數學探究提供了有力工具

“幾何畫板”能在不斷變化的幾何圖形中得到不變的幾何規律，利用它可以做成動態的而且具有數學表達的準確性的課件。如2003年全國高中數學聯賽第15題：一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內一定點A，且OA=a。折疊紙片，使圓周上某一點A′剛好與點A重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕。當A′取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合。這道題是聯賽試題的壓軸題，從命題者對此題的命制意圖看，無疑是一道難題，競賽結果也充分印證了這一點。學生為什么會覺得這道題難呢？我認為根本原因在于學生對求軌跡的思維定勢。在他們看來，要求軌跡就要先求軌跡方程，而要求軌跡方程就要先設軌跡上的任一點的坐標為（x，y），再得到x，y之間的關系。而此題要得到x，y之間的關系比較困難，思維極易受阻，當然就覺得難了。我們不妨用“幾何畫板4.07”來探求一下所求點的集合。（1）用“點”工具畫點O、M，并使|OM|=R；（2）用“作圖”菜單中的“以圓心和圓周上的點畫圓”命令畫以O為圓心，R為半徑的圓，并“隱藏點”M；（3）用“點”工具在⊙O內畫點A，使｜OA｜＝a；（4）在⊙O上任取一點A′，用“線段”工具作線段AA′、OA′；（5）分別用“作圖”菜單中的“線段”、“中點”、“垂線”命令得到線段AA′的中垂線l；（6）選定直線l，并用“顯示”菜單中的“追蹤直線”命令；（7）同時選定點A和直線l，用“作圖”菜單中的“軌跡”命令即可得到點A′的集合。它是以點O、A為焦點，以a為焦距，以R為長軸長的橢圓及其外部。若要用動畫顯示，則只需在完成以上步驟（1）——（6）后實施步驟；（8）同時選定A′和⊙O，并用“編輯”菜單中的“操作類按鈕”和“動畫”命令即可。有了此探究過程，我們便可得到本題的比聯賽命題組提供的“參考答案”更簡單的妙解了。

三、幾何畫板的應用為“以學生為主體”教學思想的體現提供了條件

“幾何畫板”可以在少花時間的情況下通過上網查找資料和請教名師，對教學內容中可能遇到的問題得到更多更好地解決。還如2003年全國高中聯賽第15題，因為它的結論是“橢圓及其外部”，當我講完后，接著就有學生問“有沒有一個類似的命題，它的結論是雙曲線及其外部呢”？我肯定后讓學生思考和討論，并選出代表回答。在學生代表類比原題得出引申題“一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓外一定點A，且OA=a。折疊紙片，使圓周上某一點A′剛好與點A重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕。當A′取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上的點的集合。我當場利用“幾何畫板”做了一個課件，并現場進行動畫演示。當學生提出結論是“拋物線及其外部”的命題時，我用同樣的方法進行處理。這時，又有學生提出，能否用類似的方法畫圓錐曲線——橢圓、雙曲線和拋物線呢？我說可以，并利用“幾何畫板”的軌跡功能將課件略加修改后進行演示，收到了很好的效果。由此我們可以看到，“幾何畫板”為“以學生為主體”的教學思想的體現提供了優越的條件。

四、幾何畫板的應用使個別化教學成為可能

幾何畫板”的“顯示/隱藏”按鈕，能實現對同一教學內容的不同教學設計的切換，也可以實現對同一數學對象的不同結構側面的切換，還可以實現對同一數學問題的不同解法的切換，從而滿足各類學生的需要。例如，在講解函數圖象的作法中的伸縮變換時，為了便于比較，我在同一坐標系中作出y=sinx、y=sin2x、y=sin、y=2sinx和y=sinx的圖象。并給每個函數圖象都設計了“顯示/隱藏”按鈕。我在利用y=sinx、y=sin2x和y=sin的圖象說明橫向伸縮變換時，我首先將y=2sinx和y=sinx的圖象隱藏起來；而利用y=2sinx和y=sinx的圖象說明縱向伸縮變換時，又先將y=sin2x和y=sin的圖象隱藏起來。我們還可以根據不同學生的需要隨心所欲地對所作的函數圖象進行顯示/隱藏操作。

五、幾何畫板的應用能使抽象的教學內容形象化

如在講解立體幾何中三棱錐體積公式的推導時，我通過一個課件，把已知三棱錐和在此基礎上補成一個三棱柱的另外兩個三棱錐通過按鈕的操作使它們拉開和重疊，并用顏色來說明每一組兩個三棱錐同底等高（如圖5），從而得到這三個三棱錐體積相等的結論，因而得到三棱錐體積公式。又如函數y=f（|x|）的圖象的作法。我們可以先利用“幾何畫板4.07”作兩個具體函數f（x）=（x－2）－6與f（|x|）=（|x|－2）－6的圖象，再通過這兩個函數圖象的關系的分析得到更一般的函數y=f（x）與y=f（|x|）的圖象的關系。

六、幾何畫板的應用有利于知識的獲取和保持

實驗心理學家赤瑞特拉的實驗表明：人們一般能記住自己閱讀內容的10%，自己聽到內容的20%，自己看到內容的30%，自己聽到和看到內容的50%，在交流過程中自己所說內容的70%。利用幾何畫板提供的外部刺激不是單一的，而是多種感官的綜合刺激，這對于知識的獲取和保持是非常重要的。

其實實驗過程就是一個科學研究的過程、探索真理的過程。因此，數學實驗必然能更高效地培養學生的探索能力和科學創新精神，激發學生的好奇心，也更有利于學生的個性發展。