在小學數學教學中滲透整體意識

郭敬鋒

1 前言

數學意識是人對客觀事物的數量關系和空間形式的自覺能動的反映。數學意識在數學活動中發(fā)揮著指導、調節(jié)作

用,良好的數學意識將會使數學活動得以順利實現高度自動化。當下,越來越多的數學教師清晰地意識到發(fā)展學生的數學意識是提升學生數學素養(yǎng)的必由之路,并開始付諸于實踐。其中整體意識不僅體現著數學辯證思維的特性,而且對其觀察問題全局化、思維方式科學化,甚至形成方法論意義上的綜合素養(yǎng)都起著基礎性、關鍵性的作用。一個突出的表現便是形成整體意識的人就會由著重對事物單方面的研究,轉向著重對事物多方面的整體研究;由著重對事物實質的研究,轉向著重對事物的各種類型的聯系和結構的研究。這些看似與小學數學學習遙不可及,但這些意識卻往往萌芽于最初的卻又能對今后的形成起著重要作用的“土壤”——數學課堂。因此,筆者的探索便從如何提供更適宜整體意識生長的“土壤”開始。

2 目標境界之一:著眼整體,考察聯系,體悟思想

案例1學習乘法分配律后,筆者出示這樣一題:78×99+78。學生嘗試計算后,教師組織學生進行交流。

生1:把99看做100-1,78×99+78=78×(100-1)+78=78×100-78×1+78=7 800-78+78=7 800。

生2:把99看做100,再把多算的減去,78×99+78=78×(99+1)-78+78=78×100-78+78=7 800。

生3:把78看做78×1,78×99+78=78×99+78×1=78×(99+1)=78×100=7 800。

師:同學們,你喜歡哪種方法?

生4:我喜歡第二種方法,因為99接近100,就先把它看作100,多算了再減。

生5:把99看成100與1的差,就可以利用乘法分配律進行簡便計算,我喜歡第一種方法。

生6:第三種方法,把78看成78與1的乘積后,就能應用乘法分配律使計算簡便。

學生各抒己見,最后筆者說:“同學們都有自己喜歡的方法,以后大家就用自己喜歡的方法做。”

課后交流時,教師的普遍意見是學生應用乘法分配律的水平參差不齊,教師引導“無為”,學生并沒有獲得應有的發(fā)展,亦即沒有達成該達到的目標。失敗之后,筆者在聽取其他教師意見的基礎上進一步進行反思。

反思看上去,筆者是尊重學生多樣化的算法,實質上,不但沒有引導學生實現算法的優(yōu)化,更深層次的是缺乏對發(fā)展學生的整體意識的關注,抑或說教師本身就缺乏一定的整體意識。從這樣的算式中孤立出78×99,應用乘法分配律計算后再與78相加,雖然不乏合理的成份,但稍有數學審美鑒賞力的人總覺得有一種“只見樹木,不見森林”的缺憾。生2的想法從本質上講也沒有逃脫這種窠臼。當人們關注整體時,更應當引導學生觀察整個算式所具備的特點。另一方面,極其重要的是,對乘法分配律,要促進學生形成認知結構,而且這種結構應當是開放的,并作為一個容量較大的組塊整體提取和應用,才利于遇到新問題時實現順應,達到新的平衡。

3 目標境界之二:鳥瞰全局,把握實質,突破常規(guī)

案例2“長方形周長”一課中,筆者安排這樣一個問題供學生解決:圖中(略)2個完全一樣的長方形拼成的,它的周長是多少厘米?

建立了周長概念的學生紛紛努力地去找出圍成這個圖形的每條邊的長。不少學生遇到一定的困難。生甲打破沉寂:“通過觀察我發(fā)現,長方形長和寬的和是16厘米,差是4厘米。因此,把16厘米加上4厘米就是兩條長的和了。我就用(16+4)÷2=10(厘米)求出長。寬就是10-4=6(厘米)。”筆者明白:她是用和差問題的方法來解決問題。受她的啟發(fā),生乙說:“我們也可以用(16-4)÷2=6(厘米)求出寬……”筆者環(huán)顧一周,發(fā)現她倆的響應者并不多,畢竟和差問題的解決方法對于不少學生來說還較為陌生,更何況,這種方法并非解決問題的上策。因此,筆者并沒有“逗留”于此,話鋒一轉:“同學們,有沒有想過其他方法?”看得出,學生都產生這樣的定勢:要求這個圖形的周長,就要找出各條邊的長。筆者這樣誘導:“求長方形的周長,同學們喜歡用長與寬的和乘2來算。那這個由2個長方形拼成的圖形周長與原來長方形長、寬之和有沒有什么關系呢?”這樣啟發(fā)后,學生紛紛跳出原有的“框框”,開始從整體上來考慮這一組合圖形的周長與原來的長方形周長的內在聯系。不一會兒,學生的臉上洋溢著柳暗花明后的興奮,爭先恐后地說:“老師,這個圖形的周長包括原來長方形的三個長和寬之和還多4厘米。所以,可以用16×3+4來算。”“把右上角補上一塊,變成一個長方形,周長不變。也能夠看出圖形的周長是3個長、寬之和還多4厘米。”

思考囿于局部、糾纏于每條邊的長度使得學生對問題的解決走上繁瑣分析、高難技巧的道路。顯然,這條路并不平坦且有較大的困難。因此,教師不能被學生牽著鼻子走,在極其有限的課尾時間里去增補“和差問題”這一對不少學生需要至少一堂課來展開學習的內容。作為引導者的教師“該出手時就出手”,必須“適時地走進來”,介入并逐步融入學習過程中來。引領學生從全局的高度把握長方形周長計算方法中充滿整體感、體現人類思維之花的結構要素:長與寬之和,并把它作為一個整體的尺度去度量與長方形有著密切聯系的這一組合圖形的周長,這是長方形周長在數學內容中最本質的思想內核。整體原理告訴人們:不僅應注意發(fā)揮各部分的功能,更重要的是要發(fā)揮各部分相互聯系形成結構的新功能。不難看出,把長與寬之和視為一個整體結構要素去解決問題,讓學生體悟到“一覽眾山小”的整體觀,使問題解決朝著擺脫常規(guī)模式的羈絆、化難為易的方向邁進。

把握數學問題時,弄清問題的實質,通盤考慮解決問題的要素,才有可能突破解決問題的常規(guī)方法。上述案例呈現的問題其構成要素并非一定是原長方形的長與寬,而長與寬之和及長與寬之差已足以構成解決問題的要素,關鍵是要考察出整個圖形的周長與提供的2個條件之間的關系。所以要不拘泥于常規(guī),鳥瞰全局,認真把握問題實質及其與條件之間的聯系極其重要。筆者在教學求長方形周長時就曾有意只提供長、寬之和,求梯形面積時只提供上、下底之和及高,求圓面積時只提供半徑的平方,求相遇時間只提供路程與速度和……這樣,就促使學生打破常規(guī)問題常規(guī)方法的樊籬,重新思考解決問題的最簡要素到底是什么,從而對解決問題要素構成的認識上升到更為統整的高度,對問題實質的把握也就更為深刻。不言而喻的是,這種全局意識的提升將使學生進行思維的知識單元容量加大、整體感增強、跳躍性增強,其創(chuàng)造性也就更高。

學生多次經歷這樣的過程后,筆者發(fā)現,學生元認知領域中數學觀念之整體意識有了質的飛躍。數學意識的質變將影響學生的思維方式、生活方式甚至生存方式的變化,從而實現人的和諧發(fā)展。

(作者單位:河北省盧龍縣第二實驗小學)