衛星轉動條件下APS星敏感器星像目標中心提取精度分析

李 曉，趙 宏

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.中國空間技術研究院，北京100094）

衛星轉動條件下APS星敏感器星像目標中心提取精度分析

李 曉1，趙 宏2

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.中國空間技術研究院，北京100094）

目前對星敏感器星像定位的研究多限于靜態情況，而衛星轉動過程中，在曝光期間星像在像平面不斷移動，從而影響星像定位的精度，重點分析動態情況下APS星敏感器星像目標中心的提取精度.首先分析采用質心法計算星像目標中心的誤差源，提出動態精度的估計方法，并推導相應的計算公式；進而以給定的APS星敏感器參數為基礎，研究了計算窗口、曝光時間等精度影響因素的選擇方法；最后通過仿真進行了驗證.

動態精度；星像目標中心；APS星敏感器；質心法

星敏感器是當今航天器廣泛采用的一種高精度高可靠性的姿態測量器件，它通過探測天球上不同方位的恒星來確定航天器相對于慣性坐標系的三軸姿態.

星敏感器星像位置的定位精度不僅關系到姿態計算的精度，還影響到星圖匹配的準確率.為提高星像定位精度，星敏感器采用離焦的光學系統將星像覆蓋幾個像元，然后通過質心法、曲面擬和法等內插細分算法確定星像中心位置，使星像定位精度達到亞像元或更高的精度.文獻［1-3］研究了靜態情況星像中心的提取算法和相應的精度.

在動態情況下，由于角速度的影響，曝光期間星像在像平面不斷移動，從而影響星像定位的精度，但目前關于這方面的研究較少.本文根據APS像元輸出模型，研究了角速度小于2（°）／s時采用質心法提取星像目標中心的精度，并在此基礎上分析了計算窗口和曝光時間對星像目標中心提取精度的影響.

1 APS像元輸出模型

APS星敏感器像元噪聲有多種，為簡化分析過程，只考慮暗電流噪聲、光子散粒噪聲、讀出噪聲、背景噪聲和量化噪聲，而將其他噪聲一并歸入讀出噪聲進行分析.

像元產生的電荷數可用如下的隨機變量來表示［4］：

式中，Ns表示有效信號產生的電荷數，近似看作高斯分布的隨機變量，其均值為 μs，標準差為代表光子散粒噪聲對信號的影響；Ndark表示暗電流產生的電荷數，近似看作高斯分布，均值為 μdark，標準差，是暗電流噪聲在輸出中的體現；B為背景產生的電荷數，相當于10等星產生的電荷數［5］，分析方法同 Ns；Nron為讀出噪聲，同樣采用高斯分布近似，其均值為零，標準差σron由星敏感器廠家提供.因此像元產生的電荷數可以看作均值為μ，標準差為σ的正態分布

設像元輸出灰度I與像元產生的電荷數N滿足如下正比關系：

式中，m為比例系數，n為量化位數，Nsatu為飽和光電子數.量化過程中會產生服從0～1均勻分布的量化誤差，其方差為1／12.因此像元輸出灰度 I的均值E（I）和標準差為

設σquan為量化誤差的等效電荷數

則像元輸出灰度I的均值和標準差為

2 星像目標中心提取誤差分析

在靜態情況下，星像能量滿足正態分布，點擴散函數可以用二維高斯函數來表示

式中，（xc，yc）表示星像中心的實際位置，σPSF為高斯半徑，表示點擴散函數的能量集中度.

角速度不為零時，由于在曝光時間段內星像中心一直在移動，星像能量分布可以用如下函數表示：

式中，Te為曝光時間，（xc（t），yc（t））為時刻 t（0≤t≤Te）的星像中心位置坐標.對其采用質心法得

其中A為積分區域，理論上其范圍應該是像平面所處的整個平面.

定義星像中心在 Te／2時刻所處的位置為星像目標中心.考慮到角速度一般在2（°）／s以內，曝光時間小于0.5 s，星像中心軌跡很短且近似為直線，xc（t），yc（t）可以認為是線性函數，因此·（Te／2）yc（Te／2）.所以采用質心法提取星像目標中心是可行的.

采用質心算法提取星像目標中心的誤差可分為兩類：一類是質心算法自身的誤差，稱其為系統誤差；另一類是由APS像元噪聲引起的誤差，稱其為隨機誤差.

2.1 星像目標中心提取系統誤差分析

采用質心算法計算星像目標中心位置坐標的系統誤差有以下3個方面：

1）由于 xc（t）、yc（t）的非線性而帶來的誤差.

2）由于圖像是離散的，用求和替代積分，會引入離散誤差.式（9）近似為

式中，xk，yk為第 k像元的幾何中心坐標；Ik為第 k像元的灰度值，與能量分布函數在相應區域的積分成正比.產生離散誤差的原因是采用像元的幾何中心代替能量分布函數的平衡點［2］.

實際計算中不可能采用無限大像平面，而是采用一定的窗口區域As進行計算.即

其中n為窗口區域內像元總數，用有限區域代替無限區域，會引入誤差.在靜態情況下，計算窗口一般采用5×5或3×3像元；因此在動態情況下，計算窗口As選擇為5×5或3×3像元隨星像中心移動而形成的區域，分別記為 As5和As3.

第二項系統誤差可以認為是采用式（11）代替式（9）產生的誤差，式（11）為采用質心法提取星像目標中心的最終表達式.

3）由于APS像元暗電流以及天空背景的影響，Ik自身測量帶有系統誤差，從而給計算結果帶來系統誤差.

由式（6）可知，未含有有效信號的 APS像元服從均值 In＝m（μdark＋μB）的正態分布，In近似等于圖像的灰度均值E.采用式（11）計算星像目標中心時，為抑制第三項系統誤差，計算窗口內的像元灰度應減去E.因此忽略第三項系統誤差，并認為用于計算星像目標中心的像元灰度I的均值和標準差為

2.2 星像目標中心提取隨機誤差分析

采用式（11）計算星像目標中心的隨機誤差由APS像元噪聲引起.由于分析ˉx與ˉy是等效的，下面僅以ˉx為例分析該隨機誤差.設μ0為曝光期間產生的總信號電荷數，μsk為第 k像元的信號電荷數，Ik為第k像元的灰度期望值，Ik＝mμsk，σk為第k像元的灰度值標準差，設

則根據式（8）能量分布函數積分可得

其中 Ask、As為積分區域，Ask為像元 k所處區域，As為計算窗口所處區域.

假定各像元的隨機誤差是不相關的，根據隨機誤差的傳遞公式可得ˉx的方差

令

則

由式（14）可得

可以看出，αx、βx反映了 As區域的形狀、大小、信號電荷分布對隨機誤差的影響，而與 μ0、μdark、μB、σron、σquan無關.

恒星在曝光期間產生的總信號電荷數μ0為

式中，E0＝2.96×10－14W／mm2為零等星輻照度，Mv為星等，D為鏡頭口徑，Eph為單個光子能量，Te為曝光時間，τ0為光學系統透過率，QE為量子效率，Kfill為填充系數.當計算窗口為As5時，窗口區域集中了99%以上的有效信號電荷，因此認為μs＝μ0；當計算窗口為 As3時，窗口區域集中了約94%的有效信號電荷，因此認為 μs＝0.94μ0.

暗電流μdark可以按如下公式計算：

式中，Jdark為暗電流密度，S為像元面積，q為一個電荷所帶電量；背景噪聲μB相當于10等星產生的電荷數；讀數噪聲 σron和量化噪聲σquan為常數，可根據APS星敏感器的參數獲得.

3 星像目標中心提取精度估計

考慮到星體角速度和曝光時間的范圍，星像中心軌跡很短且近似為直線，因此忽略第一項系統誤差，認為 xc（t），yc（t）是線性函數.設星像中心軌跡為線段L，其參數方程為

式中，u為星像中心移動速率，θ為軌跡與x軸夾角.

設 l為軌跡 L的長度，l＝uTe.將式（21）帶入式（8），并令積分變量t＝τ／u得出信號電荷的分布函數

由式（22）可以看出，信號電荷的分布函數只與初始位置（x0，y0）、軌跡L的長度 l和軌跡與 x軸的夾角θ有關.

若軌跡 L的初始位置（x0，y0）、長度 l和與 x軸的夾角θ已知，可以確定計算窗口As；由式（22）進行數值計算可以得到信號電荷在As區域各像元的分布；根據式（11）可以計算ˉx、ˉy，與xc（Te／2）、yc（Te／2）比較可獲得第二項系統誤差；同時可以由式（16）和（18）計算 αx、βx，確定隨機誤差.

但實際情況中軌跡的參數是隨機的，因此星像目標中心的系統誤差和隨機誤差也是不確定的.對于系統誤差，其在某一極限范圍內具有隨機性，性質上屬于未定系統誤差，因此采用標準差ex、ey來表征系統誤差取值的分散程度；對于隨機誤差σˉx、σˉy，應計算其可能出現的最大值σˉxm、σˉym.最終得到反映星像目標中心提取精度的量

由于 x方向與 y方向等效，則 σy＝σx.

表1給定了APS星敏感器參數［1］，下面以此為基礎計算星像目標中心x方向的提取精度.

當計算窗口為A s5時，隨機給定 L的參數并計算系統誤差230次，圖1為x方向的系統誤差.根據這230個誤差數據，計算出標準差ex＝0.001像元.

表1 給定APS星敏感器的參數

圖1 計算窗口為A s5時星像目標中心x方向的系統誤差

同理，當計算窗口為 As3時，隨機給定L的參數并計算系統誤差230次，結果見圖2，計算出標準差ex＝0.025像元.

圖2 計算窗口為A s3時星像目標中心x方向的系統誤差

在角速度的模ω和曝光時間Te一定的情況下，當角速度方向與測量坐標系的y軸平行時，星像軌跡平行于x軸，αx、βx取得最大值αxm、βxm，從而σˉx取得最大值σˉxm.因此計算σˉxm時，應假定角速度方向平行于y軸.此時θ＝0，軌跡長度l可根據角速度的模和曝光時間估計

式中，l的單位是像元，θFOV表示視場角，Npixel為像平面每行或每列的像元數.由于初始位置（x0，y0）對αx，βx影響不大，因此 αxm，βxm與軌跡長度 l的函數關系可通過多項式擬和獲得.對于給定的APS星敏感器，計算窗口為A s5時，αxm，βxm值與軌跡長度 l的函數關系為

計算窗口為As3時，αxm，βxm值與軌跡長度l的函數關系為

因此，給定曝光時間 Te，星等 Mv，角速度ω，由式（17）、（24）、（25）可以計算A s5窗口下 x方向的隨機誤差上限σˉxm，由式（17）、（24）和（26）可以計算A s3窗口下x方向的隨機誤差上限σˉxm.最終由式（23）得到星像目標中心 x方向提取精度 σx.圖3和圖4分別給出了3等星和5等星在兩種計算窗口情況下σx的計算結果.通過比較可以看出：選用 As3窗口效果較好.

圖3 3等星的星像目標中心提取精度

4 最優曝光時間

在靜態情況下，曝光時間越長，信噪比越高，質心提取精度越高.在動態情況下，隨著曝光時間的增加，信號電荷μs增加，但信噪比卻沒有增加，星像目標中心提取精度不一定提高.從圖3和圖4也可以看出，σx隨曝光時間的增加是先減后增的變化趨勢，因此存在最優的曝光時間使得星像目標中心提取精度最高.

圖4 5等星的星像目標中心提取精度

給定星等Mv，角速度ω，由第四節的分析可知σx是Te的函數，可以通過求導的方式得到最優的曝光時間，也可通過數值計算求出最優曝光時間.圖5給出了給定的星敏感器采用A s3窗口時，2～6等星的最優曝光時間隨角速度ω的變化而變化.

可以看出，星等對最優曝光時間的影響不明顯.經過計算比較，從2等星到6等星，最優曝光時間的變化范圍不超過20%.而對于一定的星等，曝光時間在最優曝光時間附近20%范圍的變化對星像目標中心提取誤差的影響不超過1%.因此選擇2～6等星最優曝光時間的平均值作為星敏感器的最優曝光時間.考慮到曝光時間不宜超過0.5 s，因此最優曝光時間的上限為0.5 s.

圖5 2～6等星的最優曝光時間

圖6 給出了不同的星等在最優曝光時間下的星像目標中心提取精度.可以看出，角速度小于2（°）／s，星等小于5時，通過調整曝光時間可以使星像目標中心提取精度保持在0.4個像元以內.

圖6 最優曝光時間下的星像目標提取精度

5 數學仿真

仿真以表1的 APS星敏感器參數為基礎，給定測量坐標系y軸方向的角速度，在星等、曝光時間確定的情況下，隨機產生星矢量1000次，計算星像目標中心x方向的提取誤差的均方根.圖7和圖8分別顯示了3等星和5等星在不同的計算窗口和不同曝光時間下星像目標中心x方向誤差的均方根.

圖7 3等星的星像目標中心x方向誤差的均方根

從仿真結果可以看出采用A s3窗口星像目標中心提取誤差較小；與圖3和圖4相比較，可以看出誤差大小及其隨曝光時間的變化趨勢與理論計算值基本相符.

圖8 5等星的星像目標中心x方向誤差的均方根

6 結 論

本文分析了采用質心法計算星像目標中心的系統誤差和隨機誤差，提出了動態情況下星像目標中心提取精度的估計方法，并推導出相應的計算公式.進而采用此精度估計方法對給定的APS星敏感器進行分析，并經過仿真驗證得出如下結論：

（1）采用A s3計算窗口精度較高；

（2）不同角速度存在不同的最優曝光時間，使得星像目標中心提取精度最高，可由精度計算公式對曝光時間求導得出；

（3）當角速度小于 2（°）／s，星等小于 5時，通過調整曝光時間可以使星像目標中心提取精度保持在0.4個像元以內.

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［3］李春艷，謝華，李懷鋒，孫才紅.高精度星敏感器星點光斑質心算法［J］.光電工程，2006，33（2）：41-44

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Analysis of Star Image Centroid Accuracy of an APS Star Sensor in Rotation

LI Xiao1，ZHAO Hong2
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.China Academy of Space Technology，Beijing 100094，China）

Most studies of star image location of star sensors are limited in static state conditions at present.However，the star spot is moving during exposure as a result of satellite rotation，thus influencing the location accuracy of the star image center.In this paper，the accuracy of star image center location in dynamic state is analyzed for active pixel sensor（APS）based star sensors.First of all，sources of the location errors produced by the centroid algorithm are analyzed，a dynamic accuracy estimation method is proposed，and corresponding formulas are deduced.Then choice of the calculation window and the exposure time influencing the dynamic accuracy is analyzed based on given APS star sensor parameters.Finally，corresponding simulations are made to validate the conclusions.

dynamic accuracy；star image center；APS-based star senor；centroid algorithm

V448.22

A

1674-1579（2009）04-0011-06

2008-09-12

李曉（1984—），男，河北人，碩士研究生，研究方向為航天器姿態測量 （e-mail：lixiao789＠hotmail.com）.