一種基于改進傅里葉變換的回彈補償算法研究

摘 要:針對回彈規律比較復雜的沖壓件中高精度的要求，提出了一種基于改進傅里葉變換的回彈閉環控制系統模型。首先，從產品模型出發利用有限元分析、成形工藝參數優化等方法進行初始模具設計;然后對模具及沖壓產品進行測量，評價回彈誤差;最后通過兩個迭代循環來基本消除回彈誤差，完成最后模具修正補償。實驗證明，利用該模型可以有效地完成對模具形狀修正，實現了復雜沖壓件的回彈補償。

關鍵詞:傅里葉變換; 回彈誤差; 回彈補償; 多曲率件

中圖分類號:TP183文獻標志碼:A

文章編號:1001-3695(2009)09-3276-03

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2009.09.021

Compensation of springback based on improved fast Fourier transform

LIU Wen-juan， LIANG Zhi-yong

(School of Computer Science， Zhaoqing University， Zhaoqing Guangdong 526061， China)

Abstract:Since the high-precision requirements of stamping parts which more complex to the springback， this papers introduced a compensation of springback based on improved fast Fourier transform. First of all， starting from the product mould，carried out the initial mould design by means of finite element analysis， optimization of forming process parameters and other methods. Second， measured the mould and evaluated the resilience error. Finally， reduced springback errors through two iteration cycles， and completed mould amendment. The experiments show that the system can completion the amendment of the mold of the shape effectively and realized the springbackcompensation to the complex stamping.

Key words:fast Fourier transform; springback error; springback compensation; multi-curvature

近年來，許多學者采用CAE數值模擬技術進行回彈補償的研究，主要方法是借助于有限元軟件模擬沖壓件的成形與回彈過程，預測沖壓件各部分的回彈，以此為依據對模具型面進行補償。通過反復仿真迭代，最后得到滿足回彈誤差要求的模具修正形狀，完成對回彈量的補償。Karafillis等人[1，2]在這方面作了大量有意義的探索。數值模擬迭代回彈補償法效率高、費用低，但此方法的前提是回彈仿真精度必須首先保證，而這一點正是目前數值模擬的缺陷所在。

工程實際中，對于精度要求較高和回彈規律比較復雜的三維沖壓件，如類似多曲率汽車覆蓋件、攪拌機葉片板等的多曲率沖壓成形件，要得到符合回彈誤差標準的沖壓件，迭代過程可能需要反復多次，這樣使修模時間和成本大幅度提高[3]。

本文提出了一種基于快速Fourier變換的回彈閉環控制系統模型。在相同的工藝條件下，通過兩副幾何形狀相近的模具和相應的沖壓件獲得模具幾何形狀變化量與沖壓件幾何形狀變化量之間的頻域傳遞關系;然后預測模具回彈補償的修正位置和修正量大小，實現了簡單沖壓件的回彈補償;最后，以多曲率件沖壓實驗驗證該模具型面回彈補償算法的有效性。

1 沖壓回彈閉環控制模型的建立

板材沖壓成形回彈誤差模具修正過程如圖1所示。首先，從產品模型出發利用有限元分析、成形工藝參數優化等方法進行初始模具設計，再對模具及沖壓產品試制件進行測量，評價回彈誤差。若誤差滿足要求，則完成沖壓模具設計;否則，需要對模具型面進行修正、試制、測量，直到滿足回彈誤差要求為止。

在本文中，將板料沖壓成形回彈誤差模具修正系統抽象為如圖2所示的模具修正閉環控制系統。其中，p為理想產品形狀，Di為第i個模具型面形狀，Pi為第i個沖壓件型面形狀。

在控制系統中，把在零初始條件下輸出量與輸入量關系可表為

G(s)=R(s)/C(s)(1)

同樣，在離散系統中，把在零初始條件下輸出的離散量P的Z變換與輸入離散量D的Z變換之比定義為系統的傳遞函數，即

H=P(Z)/D(Z)(2)

式中:H為閉環離散控制系統的傳遞函數;P(Z)為輸出離散量的Z變換;D(Z)為輸入離散量的Z變換。因此，如何快速求出一個離散系統的閉環傳遞函數，通過離散閉環控制系統來達到模具修正是首先要解決的問題[4，5]。

2 成形過程傳遞函數的推導

在本系統中，傳遞函數反映的是模具型面到沖壓成形的沖壓件型面的變化關系。由于模具型面到沖壓件型面的差別最大決定因素是由回彈引起，而回彈本身就是一個非線性因素，本系統中的傳遞函數應該是非線性函數。其傳遞函數求解推導過程如下:設模具I形狀測量數據為d1，對應的沖壓件I形狀測量數據為p1，模具Ⅱ為所求的模具型面，形狀測量數據為d，對應的為理想的沖壓件Ⅱ型面，形狀測量數據為p。則曲面誤差為

e=p-p1(3)

而p是由模具Ⅱ經沖壓成形得到，所以p與d存在一個函數關系。

p=f(d)(4)

把式(4)代入(3)可得

e=f(d)-p1(5)

模具修正的最終目的是使曲面誤差趨近于零， 所以有

f(d)-p=0(6)

上述方程就是本文的模具修正離散閉環控制系統的誤差函數，通過對此誤差函數的求解就可以得到系統的傳遞函數方程。式(6)是一個非線性方程，用迭代法Newton-Raphson求解此方程可得

(f/d)-1=H(d1)=(d2-d1)/(p2-p1)(7)

式(7)是非線性方程在初始沖壓狀態點附近的近似解。其物理含義是，當沖壓工藝參數保持不變時，模具幾何形狀的小量變化與沖壓件幾何形狀的小量變化近似呈比例關系，H(d1)即為本系統所求的模具沖壓件偏差形狀傳遞函數。

3 基于FFT的回彈補償算法

基于快速傅里葉變換的沖壓回彈模具型面修正算法目標是通過兩個迭代循環來基本消除回彈誤差，完成最后模具修正補償。麻省理工學院的R.D. Webb博士和Arizona大學的C.Hindman也曾做過相關工作。在求解系統的傳遞函數之前，首先將閉環控制中輸入量和輸出量進行時—頻轉換;然后差運算求回彈補償值;最后對頻率點進行逆運算，從而得到所求成形件的整體特性。對于空間曲線和曲面，頻率反映的是它們的光順程度，高頻分量越小，說明曲線或曲面越平緩。同樣，產品型面數據與模具型面數據之間的差運算在頻域內所代表的物理含義也是不一樣的，它表示產品和模具型面在x軸方向所識別出的各種與模具型面特征無關的干擾成分，可以大體確認由于回彈引起型變的形成部位。因為頻率高頻反映的是某些細節特征(如發生變化等)，頻域差之后的高頻就自然成了模具沖壓后產生的型變大小和地點。

時—頻變換后在頻域中式(7)可表示為

H(d)=F2(Δd)/F2(Δp)(8)

式中:H為模具沖壓件偏差頻域傳遞函數;F2(#8226;)為二維快速Fourier變換。

式(8)表明在沖壓工藝參數不變時，模具形狀小量變化Δd與相應的沖壓形狀的小量變化Δp經過二維FFT變換后在頻域內成正比，比例系數為H。可見，如果已知兩套回彈比較小的模具D1 、D2形狀數據和對應的沖壓件P1 、P2形狀數據，即可計算出模具沖壓件偏差頻域傳遞函數H:

H(d)=F2(Δd)/F2(Δp)=

(F2(d2)-F2(d1))/(F2(p2)-F2(p1))(9)

設p為理想產品形狀，d為模具設計中所求的模具型面。在工藝參數不變的前提下，Di到Pi之間的函數關系可以認為不變，而頻域傳遞函數H則反映了這樣一種函數關系，故可得

H(d)=F2(Δd)/F2(Δp)=

(F2(d)-F2(d1))/(F2(p)-F2(p1))(10)

結合式(9)和(10)，解方程組可得

F2(d)=F2(d1)+(F2(d2)-F2(d1))/(F2(p2)-F2(p1))×(F2(p)-F2(p1))(11)

對F2(d)進行FFT反變換即可得到理想模具型面的離散數據點集

d=F-12F2(d)」(12)

可見，只要知道兩次相近的實驗結果，可預測其附近區域的第三次實驗結果中的某一個元素(沖壓件形狀p或模具形狀d)。該方法的基本原理是，利用Fourier變換表示模具型面和沖壓件形狀，并采用頻域傳遞函數法來進行求解。但是該方法仍然存在著一些問題:傳統傅里葉算法運算量大、收斂慢。 另外，傅里葉的不足是它在整體上將離散量分解為不同的頻率分量，使算法不能逼近系統最優解。因此，本文在上述的基礎上提出了一種改進的時—頻變換算法。

4 改進的傅里葉算法

為了實現頻域模具修正算法，本文采用了小波變換將時域下模具型面和沖壓件型面形狀數據變換為頻域的參數表示形式。由于計算機本質上只能處理離散數據，在實際計算中第一步先用到的是離散傅里葉變換。前文也提到，傅里葉變換的不足是它在整體上將離散量分解為不同的頻率分量，從而缺乏局部性信息，即對離散量的表征要么完全在時域，要么完全在頻域，它不能揭示某些頻率分量出現在什么時候以及隨時間的變化情況，所以它不是很適合于分析非線性信號，一般用于分析線性信號和準線性信號[8，9]。而本文所應用的模具修正離散閉環控制系統，其傳遞函數描述的是模具型面到沖壓件型面的變化函數，用傅里葉處理這種信號量仍會存在表征誤差問題，所以不能逼近系統最優解。因此本文在時域到頻域空間域變換時采用的是一種基于傅里葉變換的小波變換，利用小波變換可以反映信號從整個時域到頻域的性質，而且還能反映信號在時域的瞬息變化的性質，從而達到彌補以前傅里葉實現空間域離散變換的缺陷，使閉環控制系統更能接近最優解。

傅里葉變換與小波變換相結合進行空間域離散變換的基本原理是:選擇一種非緊支集的正交小波Shannon波，其頻譜Ψ(w)是一帶通濾波器。經過研究分析發現，若小波函數取為形如Shannon小波類型的函數，則可以利用快速傅里葉變換來完成小波變換，從而借助于快速傅里葉可以實現小波變換[10，11]。

對于離散信號f(n)(n=0，1，2，…，N-1;N=2l，l∈Z)，設f(n)的FFT為

F(k)=(1/N)∑N-1n=0f(n)exp((-j 2nkπ)/N)(13)

F(k)的傅里葉變換為

FF(m)=(1/N)∑N-1m=0f(k)exp(-j 2mkπ/N)

m=0，1，…，N-1(14)

取為非緊支集的正交小波f(x)∈L2(R)，則有

wf(λ，x)=λ/2π[∫π/λ2π/λF(w)exp(-jxw) dw+∫2π/λπ/λF(w)exp(-jxw)dw](15)

由式(14)得到

wf(2-i，2-im)=[2/(2i2i)]FFi(m)(16)

FFi(m)=(1/Ni)∑Ni-1k=0Fi(k)exp(-j 2mkπ/Ni)(17)

這樣，由式(17)就將信號的小波變換轉換為信號的傅里葉變換的常數倍，從而可以利用FFT進行離散正交小波變換和逆變換。

5 辨識算法的MATLAB實現

本文以小波變換理論為基礎，結合傅里葉變換構造數學模型， 用MATLAB 對基于快速Fourier的小波變換模具型面修正算法在模具型面修正閉環控制系統的應用進行了研究。

設二維曲面坐標范圍為X、Y， X軸上采樣間隔為d =D /L。其中:L為采樣點數;D為曲面寬度。Y軸上取L 個采樣點產生矩陣[12]。

a)利用reshape函數將該矩陣轉換成列向量，作為時域離散量表示，然后通過Mn=dftmtx (length(x))函數產生DFT矩陣。對矩陣進行乘法，Fx=Mn×x等效于 DFT。由此計算出L個θ方向上投影集合的傅里葉變換Fx( R，θ)。其中R代表不同模具型面和沖壓件型面形狀數據時域數組表示，然后求出不同R值的Fx( R，θ)，得到模具型面和沖壓件型面形狀數據傅里葉頻域表示。

b)根據算法，在模具型面和沖壓件型面形狀數據傅里葉頻域表示基礎上求模具型面和沖壓件型面形狀數據小波頻域表示。先計算Fxi(K)(i=0，1，NA1AD，Ni-1)，再用上述求傅里葉頻域表示方法計算FFxi(m)(m=0，1，NA1AD，N-1)。等效于對原始模具型面和沖壓件型面形狀數據進行了兩次傅里葉變換。

c)計算模具型面和沖壓件型面形狀數據的小波變換wf(2-i，2-im)=[2/(2i2i)]FFi(m)，取i=2，計算出所有尺度2-i(i=1，2，NA1AD，j)下的wf(2-i，2-im)(m=0，1，NA1AD，Ni-1)，即可得到信號f(n)的多尺度分解C-i，D-j，D-j+1，NA1AD，D-1。

d)通過傳遞函數辨識過程，根據不同型面f(n)的形狀數據多尺度分解C-i，D-j，D-j+1，NA1AD，D-1計算閉環控制系統的傳遞函數，最后根據傳遞函數求得所求的模具型面的頻域表示。

e)根據上述的逆過程求出所求的模具型面的時域表示。

6 模具型面修正算法驗證

為了驗證基于快速Fourier的小波變換模具型面修正算法在模具型面修正閉環控制系統應用的有效性，以多曲率件模具型面回彈補償為例，設計加工了三套不同曲率形狀參數的多曲率型面模具。多曲率件沖壓模具型面參數如表1所示。在Y71-100A型液壓機上進行板材沖壓回彈實驗，實驗材料選用150 mm×50mm、厚度0.8 mm 的08AL鋼板，成形壓力為70 kN，采用拉延油進行潤滑，沖壓成形得到三個不同曲率形狀的沖壓件，并利用德國WENZEL公司生產的LH65型三坐標測量儀對沖壓件及模具型面進行測量。 設計三副相似的多曲率件模具為Di，分別對應有三副模具沖壓件Pi，j=1，2，3。應用改進算法思想，根據式(11)以p2作為沖壓件的理想設計形狀，以模具型面d1、d3及沖壓件型面p1、p3測量離散數據來求解形狀傳遞函數，應用式(12)來反推d2，比較d2和d2的差別即可驗證算法的精度。模具型面修正結果與實際模具型面比較如圖3所示，模具型面修正算法誤差分布曲線如圖4所示。從圖中可以看出，模具型面修正算法誤差在0.22 mm以下。其中最大誤差為0.219 mm，平均誤差為0.089 mm。算法結果表明，通過本文提出的模具修正補償算法，可以正確預測相同工藝條件下，與理想產品相對應的理想模具型面形狀，從而達到對回彈誤差進行補償修正模具型面的目的。

7 結束語

本文針對沖壓回彈誤差，提出了一種基于快速Fourier變換的回彈閉環控制系統模型。在相同的工藝條件下，通過兩副幾何形狀相近的模具和相應的沖壓件獲得模具幾何形狀變化量與沖壓件幾何形狀變化量之間的頻域傳遞關系，然后預測模具回彈補償的修正位置和修正量大小，實現了簡單沖壓件的回彈補償。結果表明，通過本文提出的模具修正模型，可以在相同工藝條件下，正確預測與理想產品相對應的理想模具型面形狀，從而達到對回彈誤差進行補償、修正模具型面的目的。

參考文獻:

[1]KARAFILLIS A P， BOYCE M C. Tooling and binder design for sheet metal forming processes compensating springback error[J]. Mech Tools Manufact，1996， 36(4):503-526.

[2]WU L W. Generate tooling mesh by FEM virtual forming model for springback compensation in die surface design of sheet metal stamping[J]. SAE Journal，1996，105(5):643-649.

[3]HINDMAN C， OUSTERHOUT K B. Developing a flexible sheet for-ming system[J].J Materials Processing Technology，2000，99(7):38-48.

[4]李延平.3D復雜形狀板料沖壓成形回彈誤差補償方法及其實驗驗證[J]. 塑性工程學報， 2005，12(3):60-66.

[5]楊麗娟.快速傅里葉變換FFT及其應用[J].光電工程，2004 ，41(12):85-89.

[6]蔡暉.快速實現FFT的逆序方法 [J].探測與控制學報，2001， 23(2):62-65.

[7]BRIGHAM E O. Fast Fourier transform[M]. Shanghai: Shanghai Science Press， 1979.

[8]QUAK E. Trigonometric wavelets for Hermite interpolation[J].Mathematics of Computation，1996， 65(214):683-687.

[9]余小勇.信號分析從傅氏變換到小波變換[J].西安郵電學院學報， 2001，45(3):42-47.

[10]張德干.一種基于快速傅里葉變換的小波變換方法[J]. 東北大學學報， 2000，75(12):14-16.

[11]朱東波.基于RP技術的板料成形模具快速制造系統研究[D].西安:西安交通大學，2001.

[12]劉文娟.基于進化策略的工藝優化回彈控制及模具型面修正算法研究[D]. 2008:104-107.