數(shù)學(xué)教學(xué)中如何教學(xué)生“想”

【中圖分類號(hào)】G632【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1002-2139（2009）-13-0000-01

數(shù)學(xué)是思維的體操，大量事實(shí)證明：培養(yǎng)思維能力需要數(shù)學(xué)，同時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身又是思維活動(dòng)的過程。為了引導(dǎo)學(xué)生敞開思維，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)是把現(xiàn)成的數(shù)學(xué)結(jié)論生搬硬套地教給學(xué)生，而是應(yīng)把數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程，既怎樣“想數(shù)學(xué)”的思維過程教給學(xué)生，法國(guó)數(shù)學(xué)家富克斯教授，常常對(duì)要講的內(nèi)容現(xiàn)講現(xiàn)推，對(duì)此，他的學(xué)生希爾伯特深有感觸地說：這種教學(xué)法使我和我的同學(xué)有機(jī)會(huì)瞧瞧高明的數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思維過程是怎樣的，可見“現(xiàn)想現(xiàn)推”對(duì)學(xué)生有多深影響啊！

“想”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是針對(duì)問題尋找對(duì)策，其特點(diǎn)是突出“怎樣思考”，它能促進(jìn)探索發(fā)現(xiàn)而直至到達(dá)目標(biāo)，這不同于把現(xiàn)成的數(shù)學(xué)結(jié)論模式性地教給學(xué)生，重復(fù)知識(shí)和操練技能，因而能夠調(diào)動(dòng)與挖掘?qū)W生求知本能的潛能，克服課堂教學(xué)學(xué)生天性中回避心智艱苦努力的弱點(diǎn)。下面結(jié)合幾個(gè)數(shù)學(xué)問題，談些個(gè)人看法：

一、精心選擇和設(shè)計(jì)“想”的情境

如講授有理數(shù)加法法則時(shí)，提出

（1）學(xué)了正數(shù)、零、負(fù)數(shù)后，有理數(shù)怎樣分類？（目的為講加法的類型作準(zhǔn)備）

（2）任取兩個(gè)有理數(shù)，它們的符號(hào)有幾種類型？你能把各種類型的兩個(gè)有理數(shù)表示成和的形式嗎？（目的是為講法則打基礎(chǔ)）。

這里把問題的解決作為全部數(shù)學(xué)教學(xué)的中心，通過啟導(dǎo)，將有理數(shù)和的問題提了出來，下一步就要通過數(shù)學(xué)思維，探索、發(fā)現(xiàn)有理數(shù)和的結(jié)果怎樣。教師要告訴學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)論是怎樣“想”出來的？要把“怎樣想”的過程和方法教給學(xué)生，使之會(huì)“想”。

（1）從一點(diǎn)出發(fā)，在同一直線上向東（向東為正）走4米，再向東走2米，結(jié)果怎樣？這兩次運(yùn)動(dòng)的情況與兩個(gè)正有理數(shù)的和的運(yùn)算有什么關(guān)系？

（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，（+4）+（+2）=？，該結(jié)果的符號(hào)、數(shù)值與加數(shù)的符號(hào)、數(shù)值有什么關(guān)系？

（3）規(guī)定向東為正以后，向西走2米如何理解？根據(jù)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，（+4）+（-2）=？該結(jié)果的符號(hào)、數(shù)值與加數(shù)的符號(hào)、數(shù)值有什么關(guān)系？

（4）對(duì)其它有理數(shù)和的形成，利用同一直線上的兩次運(yùn)動(dòng)又如何求得結(jié)果？

學(xué)生對(duì)諸如“（+4）+（-2）=？”感到困難時(shí)，怎么辦呢？此時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：任一有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)有何關(guān)系？能否以數(shù)軸上的點(diǎn)兩次運(yùn)動(dòng)為例子來說明有理數(shù)和的運(yùn)算？通過創(chuàng)設(shè)這些“想”的情境，學(xué)生就一目了然，心領(lǐng)神會(huì)了。利用數(shù)形結(jié)合使學(xué)生另辟捷徑地理解了加法法則的合理性。

二、把握心理探索順序，運(yùn)用合情推理，教給學(xué)生“怎樣想”

一般地，數(shù)學(xué)問題的解決過程可分為四個(gè)階段：認(rèn)識(shí)問題——尋找方法——實(shí)施辦法——得出結(jié)論。教學(xué)中，教師常常為探尋某個(gè)問題的解法冥思苦想，費(fèi)盡千辛萬苦。但一到課堂上，卻是一舉成功，學(xué)生看不到教師是怎樣想（尋找方法）的，也不知是為何這樣想（實(shí)施辦法）的。這種做法，必然束縛學(xué)生的思維，使他們不能按照自己的心理探索順序去“想”。倘若教師能“讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)建造過程的腳手架，而不是簡(jiǎn)單的現(xiàn)成品”，把“想”的過程和方法給學(xué)生講清楚，無疑會(huì)給學(xué)生以有益的啟迪。使他們的思維能力得到提高。

比如，對(duì)于△ABC，欲證∠A+∠B+∠C=180°，可能的推理途徑有

1、按平角定義：延長(zhǎng)BC，過C作CE∥AB，利用∠1=∠A，∠2=∠B（圖（1）），即可證得，

2、按平行線的性質(zhì)：過A作AE∥BC，利用∠1=∠C及同旁內(nèi)角互補(bǔ)證得

3、按圓周角定理得：作△ABC的外接圓，∠A+∠B+∠C=（弧AB+弧BC+弧CA）÷2=360°÷2=180°。

當(dāng)然還有其它思路。

以上把問題“怎樣提出”和“應(yīng)怎樣想”暴露給學(xué)生，同時(shí)又把二者之間的聯(lián)系是怎樣想出來的全部思維過程活脫脫地展現(xiàn)給學(xué)生，熏陶和培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。

三、精選一些“好問題”，加強(qiáng)“想”的策略

前蘇聯(lián)心理學(xué)家捷普洛夫說：“一個(gè)空洞的頭腦是不能進(jìn)行思維的”。一切思維活動(dòng)必須以豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作依據(jù)，以概念為基礎(chǔ)，通過邏輯推理的方法來進(jìn)行。在教學(xué)中，應(yīng)精選一些“好問題”，通過對(duì)解題方法的研究，教給學(xué)生“怎樣想”和為什么“這樣想”的策略。如數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)換；考慮它的逆命題或逆推；解決一個(gè)或幾個(gè)相關(guān)的簡(jiǎn)單問題；尋找一個(gè)反例；畫一個(gè)簡(jiǎn)圖；尋找和使用一個(gè)模型等。這些基本策略可以豐富學(xué)生的頭腦，提高學(xué)生對(duì)問題的解決能力。

如勾股定理的證明，為什么要取四個(gè)全等的直角三角形，放在邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形內(nèi)呢？

首先啟導(dǎo)學(xué)生根據(jù)此類三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：， a2+b2=c2可視為邊長(zhǎng)分別為a，b，c的三個(gè)正方形的面積間的關(guān)系。其次直角三角形兩直角邊a，b之積等于兩個(gè)直角三角形的面積，即以a，b為邊的矩形的面積。

通過對(duì)以上兩個(gè)問題的“想”，可在等式兩邊a2+b2=c2兩邊同時(shí)加上2 ab，得到（a+b）2 =c2+2ab。這個(gè)等式說明了為什么在以a+b為邊長(zhǎng)的正方形內(nèi)取四個(gè)全等的直角三角形的原因了。

由圖（1）知（a+b）2= a2+b2+2ab

由圖（2）知（a+b）2 =c2+2ab

由此可得a2+b2=c2

這個(gè)定理證明本身并不難，但究竟怎樣想到這樣證明卻是很難的，這里利用數(shù)學(xué)模型方法找到了問題怎樣提出的又是“怎樣想到的”依據(jù)。

四、用“出聲想”訓(xùn)練學(xué)生的思維過程

教師把“想”給學(xué)生講清楚了，但并不等于學(xué)生就已經(jīng)會(huì)“想”了，要達(dá)到學(xué)生會(huì)“想”，還必須加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練。其中“出聲想”方法就可作為一種嘗試。教師把數(shù)學(xué)問題出示給學(xué)生，讓學(xué)生邊想邊出聲講，學(xué)生一旦發(fā)生障礙，就啟問：你在“想什么”？你是“怎樣想的”？為什么“這樣想”？等等，以此弄清學(xué)生的解題思維情況，找到學(xué)生“想”受阻的癥結(jié)所在，以便采取相應(yīng)的措施“對(duì)癥下藥”。

總之，從培養(yǎng)學(xué)生能力的要求來看，學(xué)會(huì)思維，探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論過程要比重?cái)?shù)學(xué)結(jié)論更有價(jià)值。因此，教學(xué)中，我們?cè)谥匾暯Y(jié)論的同時(shí)，精心選擇和設(shè)計(jì)“想數(shù)學(xué)”的情境，教給學(xué)生會(huì)“想”是當(dāng)前數(shù)學(xué)思想觀念的轉(zhuǎn)變和提高。