提倡研究式教學 溝通大中數學聯系

摘 要:以用不動點迭代教學為例，探討大學數學教學提倡研究式教學、溝通大學數學與中學數學聯系的有效途徑和方法:一是挖掘高等數學與初等數學聯系的切入點，突出數學概念、原理發生發展過程的研究式教學;二是淺化高等數學，發揮高數思想方法對初等數學的指導作用;三是運用高等數學，體現高等數學駕馭初等數學的優越性.

關鍵詞:大學數學;研究性教學;不動點迭代收斂定理;中學數學

大學數學如何指導中學數學教學一直是人們關注的重要課題，當前高中教學已進行新的課程改革，將微積分，概率統計，算法，初等數論，圖論初步等有關大學數學作為必修課或者選修課程放到高中教學中，每年的高考數學試題也滲透著高等數學的內容，我們不難從高考題中找到高等數學的影子。我們認為，大學數學教學提倡研究式教學是溝通大學數學與中學數學聯系的有效途徑和方法。本文以大學《數值計算方法》中的不動點迭代教學為例，略作說明。

一、挖掘高數與初數聯系的切入點，突出數學概念、原理發生發展過程的研究式教學

眾所周知，大學數學與中學數學有著密切而廣泛的聯系，但從大學數學的高度審視中學數學，一是需要挖掘高等數學與初等數學聯系的適當切入點，二是突出數學概念、原理發生發展過程的研究式教學。

(一)不動點迭代是聯系高等數學與初等數學的好案例

函數與方程一直是高中數學教學的重點，為適應計算機科學的發展，高中數學新課程增加了利用(借助計算器或計算機)二分法求方程實根近似值等新內容.普通高中《數學課程標準》指出:“根據具體函數的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法?！薄斑M一步體會用有理數逼近無理數”的思想，并且可以讓學生利用計算器或計算機進行實際操作，感受“逼近”過程。“應鼓勵學生運用現代教育技術學習、探索和解決問題。例如，利用計算器或計算機……求方程的近似解等?！?/p>

隨著計算機技術的迅速發展與廣泛應用，方程實根的近似計算煥發出新的活力，在處理實際問題中具有重要的應用意義.自然科學、工程技術、經濟與醫學等領域中遇到的許多問題，都可應用有關學科知識和數學理論用數學語言描述為數學問題或建立數學模型。然而，這些問題中只有很少一部分可以給出解析解，而絕大多數則得不到準確解或求解的工作量很大，只能借助計算機求其近似解(稱為數值解或計算解)。運用計算機解決現代科學(如天文學等)與工程中大規?？茖W計算問題的步驟先是提出能在計算機上實現的數值方法，繼而用計算機語言編寫程序，最后上機計算求出結果.這就要求建立的數值方法(算法)應便于在計算機上實現、計算工作量盡量小、存儲量盡量小、問題準確解與計算解的誤差小等。

不難發現，大學《數值計算方法》不動點迭代是聯系高等數學與初等數學的好案例。

(二)注重揭示數學概念的發生過程與數學原理的證明過程

數值方法是對給定問題的輸入數據和所需結果(輸出)之間的一種明確的數學描述.非線性方程近似解數值計算的基本思想是從函數f(x)的零點ξ的一個初始近似值x0出發，通過迭代導出一個收斂于ξ的序列{xn}(n=0，1，2，…)，當n充分大(如n=k)時，用xk作為ξ的近似值，即ξ的計算問題轉化為有限次迭代計算x0，x1，…，xk;常見的方法有二分法、牛頓法、割線法等，二分法是最簡單的數值方法，它只要求函數連續，因而使用范圍廣并便于在計算機上實現，但收斂速度比割線法慢，計算步驟也多一些[2]。

一般地，設函數Φ(x)是一個具有連續導數的連續函數，c(x)是任一不為0的函數，且滿足Φ(x)=x-c(x)f(x)，則方程f(x)=0與Φ(x)=x同解。

適當選取一個初始近似值x0，由迭代公式xn+1=Φ(xn)(n=0，1，2…)確定序列{xn}(n=0，1，2…).可證當|Φ'(x)|<1時，x=ξ;又因函數Φ(x)的連續性而有x=Φ(ξ)，從而ξ=Φ(ξ)為方程f(x)=0的一個解[3]。

這樣，適當選取滿足條件的c(x)代入迭代公式xn+1=Φ(xn)就得出不同的近似解遞推數列，如令c(x)=，有牛頓迭代公式xn+1=xn-(n=1，2，…);令c(x)==(常數)，有迭代公式xn+1=xn-=xn-(n=1，2，…)等。

這就是不動點迭代的基本思想.不動點迭代主要解決非線性方程解的問題，很多科學和工程計算中常常遇到非線性方程求解問題。而不動點迭代由于算法比較簡單(循環的)，收斂速度較快，這一內容在解非線性方程中占有重要的地位，是一個應用廣泛的知識點.因而，剖析不動點迭代概念的形成背景是開展數學研究式教學的邏輯起點。

其次，對于不動點迭代，迭代格式的構造或選取影響著迭代序列的收斂性、適應性及收斂速度，不動點收斂性定理為此提供了保障.所以，講好不動點收斂性定理的證明及其體現的數學思想方法，是本節實施研究式教學的又一重點。

定理1:(收斂性基本定理)設函數Φ(x)∈[a，b]滿足下列條件:

(1)當x∈[a，b]，Φ(x)∈[a，b]

(2)Φ在[a，b]上滿足李普希茨條件，即對任何x1，x2∈[a，b]成立，|Φ(x1)-Φ(x2)|≤L|x1-x2|，其中L是與x1，x2無關的常數

則(1)當L<1時，方程x=Φ(x)在[a，b]存在唯一解x*

(2)對于任意個初始值x0∈[a，b]，由迭代格式xk+1=Φ(xk)所產生的迭代序列{xk}收斂于x*，并有誤差不等式|xk-x*|≤|xk-xk-1|和|xk-x*|≤|x1-x0|

證明:(1)作函數φ1(x)=x-φ(x)，因φ(x)在[a，b]上連續，故φ1(x)在[a，b]上連續，且φ1(a)=a-φ(x)≤0，φ1(b)=b-φ(x)≥0;所以由介值定理知:存在x*∈[a，b]使得φ(x*)=0，即x*=φ(x*).

再證唯一性:若方程x=φ(x)在[a，b]上有兩實根x1，x2，則由微分中值定理及條件|φ(x)|≤L<1知，|x1-x2|=|φ(x1)-φ(x2)|=|φ(ξ)||x1-x2|≤L|x1-x2|，ξ∈(x1.x2);顯然，上試在x1-x2成立，故證得唯一性成立。

(2)又由迭代格式xk+1=Φ(xk)得:

|x-x|=|φ(x)-φ(x*)|≤L|x-x|≤L|x-x|≤…L|x-x|

因此，lim x=x.此外由|x-x|=|φ(x)-φ(x)|≤L|x-x|，k=0，1，2…;

∴|x-x|≤|x-x|+……|x-x|+|x-x|

≤(L+L+…+L+1)|x-x|≤(L+L+…+L+1)L|x-x|

≤|x-x|;令P→8，即得|x-x|≤|x-x|.

另證:

∵|x-x|=|(x-x)-(x-x)|≥|x-x|-|x-x|≥|x-x|-L|x-x|

=(1-L)(x-x)，

∴|x-x|≤≤|x-x|…≤|X-X|.

二、淺化高等數學，發揮高數思想方法對初等數學的指導作用

對于不動點收斂性定理的上述證明，一般的高中生是無法接受的。能否去掉其中的高等數學專業概念和術語，淺化高等數學以發現其對中學數學的指導作用，做好大學數學和中學數學的有效銜接?事實上，不動點收斂性定理可以淺化為如例1的高觀點下的中學數學問題:

例1:(2006高考數學廣東理20)A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數φ(x)組成的集合:①對任意x∈[1，2]，都有φ(2x)∈(1，2) ;②存在常數L(0

(I)設φ(x)=，x∈[2，4]，證明:φ(x)∈A

(II)設φ(x)∈A，如果存在x0∈(1，2)，使得x0=φ(2x0)，那么這樣的x0是唯一的

(Ⅲ)設φ(x)∈A，任取x1∈(1，2)，令xn+1=φ(2xn)，n=1，2.…，證明:給定正整數k，對任意的正整數p，成立不等式|xk+p-xk|≤|x-x|

評析:本題的背景是巴拿赫不動點定理即壓縮映射原理(Ⅱ)與不動點迭代法收斂定理(Ⅲ)，涉及高等數學中的Lipschitz條件②;壓縮映射原理是泛函分析中的一個最常用、最簡單的存在性定理，不動點迭代法收斂定理在數值分析中有廣泛應用。

不動點的現象在自然界、生活中隨處可見.關于不動點問題的系統研究始于20世紀，1912年荷蘭數學家布勞韋爾提出了著名的不動點定理:任意一個把n維球體變為自身的連續變換，至少有一個不動點.然而不動點定理只告知不動點的存在性，卻沒說不動點在哪里。1967年，美國耶魯大學的斯卡弗教授提出了一種用有限點列逼近不動點的算法，不動點由未知轉向已知方面，使其應用取得了一系列卓越成果.在數學中，不動點理論廣泛用于解各種方程問題。

初看題目，不好理解，關鍵是現場讀懂數學符號語言，需要較高的數學閱讀理解能力.其實，仔細分析題意，不難發現:(I)是證φ(2x)=，x∈[2，4]滿足條件②;(II)是用反證法證不動點x0=φ(2x0)的唯一性;(Ⅲ)是利用添減項法與放縮法等證明不等式。

∵|x3-x2|=|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|， ∴|xn-1-xn|≤=Ln-1|x2-x1|

≤|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+…(xk+1-xk)|

≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|

≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x1-x1|≤|x2-x1|

可以看出，本題是收斂性定理的特殊化，解題過程即定理的證明過程，但已用初等數學語言來表述，如此包裝，適合了高中生的數學思維，達到了考查抽象函數和不等式的目的。

當然，還可將該問題以數學研究性學習或課題學習的形式，進行變式探究.如變通Lipschitz條件，可得

問題1:已知函數f(x)定義在區間[a，b]上，若存在正常數K，對任意的x，y∈[a，b]有 |f(x)-f(y)|≤k|x-y|a，則當a>1時，有f(x)恒等于常數。

問題2:設函數f(x)定義在[a，b]上，且f(a)=f(b)，滿足a次Lipschitz條件，即存在正常數K，對任意的x，y∈[a，b]有|f(x)-f(y)|≤k|x-y|a (0

三、運用高等數學，體現高等數學駕馭初等數學的優越性

收斂性定理還為解決與函數、方程、不等式、數列等有關的不動點問題，提供了清晰而簡便的方法. 如運用不動點方法可解決如下問題:

問題3:已知函數f(x)=6x-6x2，設函數g1(x)=f(x)，g2(x)=f[g1(x)]，g3(x)=f[g2(x)]，…，gn(x)=f[gn-1(x)]，…

設區間A=(-∞，0)，對于x∈A，有g1(x)=f(x)=a<0，g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0，且n≥2時，gn(x)<0.試問是否存在區間B(A∩B≠Φ)，對于區間內任意實數x，只要n≥2，n∈N，都有gn(x)<0

問題4:(I)設f(x)=ax+b(a≠0且a≠1)，x0為函數f(x)的不動點，{an}滿足遞推關系an=f(an-1)(n≥2)，則有{an-x0}是公比為a的等比數列.

(II)設f(x)=(c≠0，ad-bc≠0)，數列{an}滿足遞推關系an=f(an-1)(n≥2)，且f(a1)≠a1，若f(x)有兩個相異不動點x1、x2，則數列是公比為的等比數列。

(Ⅲ)若數列{xn}滿足xn+1=(a≠0)，且a、β是函數f(x)=(a≠0)的兩個相異不動點，則=()2(n=1，2…)。

最后，以用不動點方法較易解決的例2結束本文.

例2(2007全國高考卷數學 理22)已知數列{an}中a1=2，an+1=(-1)(an+2)，n=1，2，3，….

(I)求{an}的通項公式;

(II)若數列{bn}中b1=2，b=，n=1，2，3，…，證明

解析:(I)令(-1)(x+2)=x，則x=;∴an+1-=(-1)(an-).

(an-)是首項為(2-)，公比為(-1)的等比數列;an-=(-1)n

∴an=[(-1)n=1，2，3……

(II)令=x，解得x=±

則=(3+2;

∴是以(+1)為首項，公比為(3+2的等比數列，

∴=(+1)(3+2)

整理得:bn=(n=1，2，3……)，

a=(-1)-1=

令(+1)=t(t≥(+1))

則b=f(t)=()=(1+)>成立;

a=g(t)=(+1);

b-a=(1+)-(+1)=(-)=()，

因為t≥(+1)，所以F(t)≤0恒成立;∴bn≤a4n-3，所以

參考文獻:

[1]合肥工業大學數學組.數值計算方法[M].合肥:合肥工業大學出版社，2004.

[2]林成森.數值分析[M].北京:科學出版社，2006.

[3](美)R.柯朗，F.約翰.微積分和數學分析引論(第二卷第二分冊)[M].北京:科學出版社，1989.