斜齒輪三維精確參數(shù)化建模理論分析

摘 要:CAD技術(shù)的不斷發(fā)展使斜齒輪的精確建模稱為對(duì)斜齒輪進(jìn)行力分析、運(yùn)動(dòng)分析、噪音控制、輪齒修型等研究的基礎(chǔ)，但經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)這些方法很多都不能得到精確的參數(shù)化模型，針對(duì)這些問(wèn)題從理論上給與分析，為齒輪的精確參數(shù)化建模提供一定理論參考。

關(guān)鍵詞:精確建模;斜齒輪;參數(shù)化;掃掠

引言

齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)中應(yīng)用最廣泛的一種傳動(dòng)方式，由于漸開線的特點(diǎn)，漸開線齒輪又是齒輪傳動(dòng)最常用的齒輪類型。近年來(lái)隨著CAD/CAE/CAM/CAPP技術(shù)的迅速發(fā)展，為了便于利用計(jì)算機(jī)仿真軟件對(duì)齒輪傳動(dòng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)噪音、輪齒修型等分析，齒輪的精確參數(shù)化建模已經(jīng)成為一個(gè)必要過(guò)程，而齒輪的建模精度又對(duì)計(jì)算結(jié)果起到?jīng)Q定性的作用。漸開線直齒圓柱齒輪由于螺旋角為零，因此精確建模已經(jīng)沒有問(wèn)題，而漸開線斜齒輪由于齒面為空間漸開線螺旋面，且其端面齒形與法面齒形不同，三維精確參數(shù)化建模過(guò)程比較困難。在目前所能查找的論文中提出了很多斜齒輪精確參數(shù)化建模的方法，但仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)里面所提到的很多方法根本就無(wú)法實(shí)現(xiàn)斜齒輪的精確參數(shù)化建模，為此先從理論上對(duì)斜齒輪參數(shù)化精確建模進(jìn)行討論。

一、參數(shù)化建模中齒數(shù)與模型分析

在斜齒輪的精確建模中有一部分文獻(xiàn)沒有考慮到齒數(shù)對(duì)建模的影響[1][3][4][5][6][7][8]。沒有考慮齒根圓與基圓之間的大小關(guān)系，根據(jù)斜齒輪的齒根圓與基圓公式有:

df=d-2·mn(h*an+c*n)(1)

db=d·cosat(2)

df=db=d-2·mn(h*an+c*n)-d·cosat(3)

由公式(3)可以得到

=z·--2.5(4)

如果斜齒輪的齒根圓 與基圓 相等，則公式(4)右邊等于零。

z·--2.5(5)

對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)齒輪有an=200，這樣斜齒輪的齒根圓與基圓之間的大小關(guān)系就是螺旋角β、齒數(shù)z和法面模數(shù)mn的函數(shù)。當(dāng)齒根圓與基圓相等時(shí)，那么斜齒輪的齒數(shù)z與斜齒輪的螺旋角β就成一函數(shù)關(guān)系，在此把這個(gè)函數(shù)關(guān)系用z=f(β)來(lái)表示，這說(shuō)明斜齒輪的齒根圓與基圓相等的分界線是變化的，而不是恒定的。

齒輪精確建模時(shí)，當(dāng)齒根圓小于基圓的時(shí)候，齒根圓與基圓之間是沒有漸開線的，這部分曲線是刀具的齒頂加工出來(lái)的過(guò)渡曲線;當(dāng)齒根圓大于基圓時(shí)，齒廓曲線全部為漸開線。所以斜齒輪精確建模一定要分這兩種情況來(lái)討論，為了方便在此用表格來(lái)給出兩者的數(shù)據(jù)關(guān)系。

二、螺旋角與斜齒輪模型的關(guān)系分析

現(xiàn)有很多論文中斜齒輪的精確參數(shù)化建模都是先利用漸開線表達(dá)式生成漸開線一條齒廓曲線，把這個(gè)端面曲線沿螺旋線進(jìn)行沿引導(dǎo)線“掃掠”或“曲面已掃掠”命令來(lái)生成一個(gè)斜齒輪的輪齒，然后利用環(huán)形陣列生成斜齒輪的精確模型[1][2][3][4][5][6][7][8]。

(一)螺旋角的關(guān)系推導(dǎo)

斜齒輪的螺旋角是指分度圓上螺旋線的切線與軸線之間所夾的角度。由下推出[10]:

tanβ=(6)

L-螺旋線的導(dǎo)程;

π·d-斜齒輪分度圓上的直徑;

可以看出螺旋角是齒輪分度圓的一個(gè)函數(shù)，在同一齒輪中，任意圓周di上的螺旋角為:

tanβi=(7)

通過(guò)公式(7)可以看出，在不同的圓周上螺旋角是不同的。

(二)沿引導(dǎo)線掃掠策略

掃掠體的數(shù)學(xué)模型是，先進(jìn)行路徑規(guī)劃，即將掃掠路徑進(jìn)行離散，求解出t時(shí)刻通過(guò)掃掠路徑曲線上節(jié)點(diǎn)si的坐標(biāo)，然后確定在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的投影面(法平面)方程，然后將物體向投影面(法平面)投影，當(dāng)時(shí)間間隔足夠小時(shí)，在滿足一定的精度情況下，把時(shí)刻t和t+△t時(shí)刻之間生成的掃掠體看成是由這些投影曲線組成的面域繞轉(zhuǎn)動(dòng)極軸轉(zhuǎn)動(dòng)生成的實(shí)體。

為了簡(jiǎn)化求解過(guò)程， 掃掠路徑通常寫成式的參數(shù)形式:

那么要想對(duì)一個(gè)物體進(jìn)行掃掠必須給出掃掠路徑和掃掠物體，在斜齒輪精確建模中，掃掠路徑是空間螺旋線，掃掠物體為漸開線的齒廓，這樣掃掠出來(lái)的齒形隨可以參數(shù)化，但在齒形上的每一點(diǎn)的法線都為掃掠路徑的切矢量，如果在創(chuàng)建時(shí)，給定的掃掠路徑是分度圓上的螺旋線(在軟件中這個(gè)命令是單參數(shù)的)，則得到的輪齒是任意一點(diǎn)的螺旋角都等于分度圓上的螺旋角，通過(guò)公式(7)可以看出這是不正確的。三維模型圖參考圖1.4。

(三)沿多條引導(dǎo)線已掃掠策略

一條螺旋線不可能得到正確的輪齒，如果采用多條螺旋線做掃掠路徑只能使用軟件中的“曲面已掃掠”命令來(lái)實(shí)現(xiàn)，當(dāng)掃掠路徑比較多的時(shí)候可以得到比較精確的輪齒模型，但這個(gè)命令是不支持參數(shù)化的，也得不到參數(shù)化模型。

下面用一個(gè)實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證:

圖四是將端面的一個(gè)齒廓面沿引導(dǎo)線掃掠生成的輪齒形狀，此螺旋角為β=200，可以看出輪齒的形狀發(fā)生了嚴(yán)重的扭曲，且隨著螺旋角的度數(shù)增大，扭曲現(xiàn)象就越明顯。

圖五是將端面的一個(gè)齒廓面利用曲面里面的已掃掠生成的輪齒形狀，可以看出當(dāng)使用一條螺旋線的時(shí)候，輪齒發(fā)生了扭曲，不可能產(chǎn)生精確地輪齒。當(dāng)增多引導(dǎo)引導(dǎo)線串時(shí)，扭曲程度降低，另外通過(guò)圖三與圖二的對(duì)比可以看出兩個(gè)操作都產(chǎn)生了扭曲，但扭曲程度是不一樣的。

通過(guò)上述論證，要想得到參數(shù)化的精確模型，必須使用掃掠命令來(lái)實(shí)現(xiàn)，可以對(duì)此命令進(jìn)行二次開發(fā)，給定分度圓上的螺旋角，然后設(shè)定漸開線上上段的個(gè)點(diǎn)螺旋角的值是線性遞增的，下半段式線性遞減的，使遞增和遞減的值分別等于齒頂圓上螺旋角和齒根圓上的螺旋角，這樣既可以參數(shù)化又可得到精確的模型

三、陣列操作與參數(shù)化分析

在很多文獻(xiàn)中當(dāng)單個(gè)齒生成后通過(guò)陣列的方法來(lái)生成整個(gè)斜齒輪模型，通常在軟件中有兩種生成方法:第一種是特征操作下的陣列(引用下的環(huán)形陣列)第二中方法是變換下的環(huán)形陣列，這兩種方法本質(zhì)上是不同的，引用下的環(huán)形陣列是不能參數(shù)化的，而特征操作下的環(huán)形陣列是可以參數(shù)化的。

所以要想進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)必須采用特征操作下的沿引導(dǎo)線掃掠來(lái)生成輪齒，然后再進(jìn)行特征操作下的環(huán)形陣列來(lái)得到參數(shù)化模型。

四、結(jié)束語(yǔ)

本文主要對(duì)已有的斜齒輪精確參數(shù)化建模的方法進(jìn)行分析，推導(dǎo)出其不能得到精確參數(shù)化模型的理論原因，為以后斜齒輪的精確建模提供理論上的參考依據(jù)。精確模型一定是理論上推導(dǎo)證明出來(lái)的精確，還要注意當(dāng)通過(guò)計(jì)算機(jī)算法去實(shí)現(xiàn)出來(lái)后一定存在誤差的，那么必須對(duì)誤差進(jìn)行分析，確定誤差的范圍是不是在后續(xù)分析的允許范圍內(nèi)。

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