讓數學美引領解題思路

〔關鍵詞〕 數學教學；對稱美；簡單美；和諧美；

奇異美；統一美

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2009）06（B）—0042—01

一、 深思熟慮，挖掘對稱美

高中數學中，具有對稱美的內容可謂比比皆是.解題時，利用對稱美能起到簡化解題過程的功效.

例1已知x、y、z互不相等，且x+=y+=z+，求x2y2z2的值.

解析：由x+=y+可得：x-y=-=，

∴=①，由字母的輪換對稱性易得：= ②，= ③，由①②③三式相乘即得x2y2z2=1.

上例抓住了數學的對稱美這一特點，得出了獨特簡便的解題方法.

二、 巧施方法，體現簡單美

法國哲學家狄德羅說：“數學中所謂美的解答是指對一個復雜問題的簡單解答 .”數學中的整體代換和正難則反便是二種常見的簡化解題過程的方法.

例2設數列1，（1+2），……（1+2+22+……+2n-1）……的前n項和為Sn，則Sn的值為 .

A.2nB.2n-nC.2n+1-nD.2n+1-n-2

解析：此題若按常規解法直接求數列的前n項和比較復雜，若采用特殊值法，則大大簡化計算過程.由原數列知，S1=1，S2=4. 在選項中，滿足S1=1，S2=4，只有答案D.

例38人排成一列，交換部分人的位置，至少有兩個人不在原來位置上的排法有多少種？

解析：若從正面考慮，需按兩個人不在原來位置上的排法、三個人不在原來位置上的排法……依次進行分類.這樣分類繁多，計算復雜，顯然不符合簡單美的原則，這時不妨考慮其反面.原題的反面是：所有人都在原來的位置上，而這只有一種情形， 故至少有兩個人不在原來位置上的排法有A-1=40319種.

三、 消除差異，體現和諧美

數學學科的特點決定了數學美的基礎特征，數學題中的數、式、形之間存在著和諧，認真審題，不難發現條件和結論間的和諧美.

例 4求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.

解析：因為cos60°=，故上式可變形為cos20°cos40°cos80°.從此題的結構來看，存在著內部的和諧美（角成公比為2的等比數列）.

原式=

=

==

====.

四、 解題思路的奇異美

例 5如圖1，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為（）

A.B.5C.6D.

解析：顯而易見，該題是考查學生對圖形的分解、組合與變形的能力，但作為一個填空題，它有著其獨特的解法.顯然多面體的體積V大于四棱錐E-ABCD的體積，那么V＞VE-ABCD=hSABCD=×2×32=6.這就否定選項A、B、C，只有選項D符合題意.

五、 數形結合的統一美

“數”與“形”結合不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種很重要的思維方法.運用這一思想常使一些抽象的問題直觀化、形象化.

例 6在△ABC中，tanA和tanB是方程x2+mx+m+1=0的實根，求m的取值范圍.

解析：由韋達定理可知， tanA+tanB=-m， tanA#8226;tanB=m+1. 從而有tan（A+B） ==

=1，又0＜A+B＜?仔，可知A+B=，于是tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）.

在此若令f（x）=x2+mx+m+1，則f（x）和x軸有兩個交點（有重合的可能）且這兩個交點都在（0，1）內，于是可得圖象（圖2），觀察圖象可得，一個根在（0，-）內，而另一個根在（-，1）內，為此需要條件f（0）=m+1＞0， f（-）=-+m+1≤0，f（1）=1+m+m+1＞0，據此可得，-1＜m≤2-2.