立足數學教材 培養創新能力

〔關鍵詞〕 數學教學；問題情境；探索；觀察力；聯想

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2009）06（B）—0043—01

一、創設問題情境，激發創新思維

案例1：在“拋物線及其標準方程”一節的教學中，引出拋物線的定義以后，聯系初中學過的“一元二次函數的圖象就是拋物線”，設置這樣的問題情境：它們之間一定有某種內在聯系，你能找出這種內在聯系嗎？此時，教師可以這樣點撥：我們可以由y=x2入手推導出曲線上的動點到某定點與定直線的距離相等，即推導出動點P（x，y）到定點F（x0，y0）的距離等于動點P（x，y）到定直線L（P?埸L）的距離.教師點撥學生推導的過程如下：

∵ y=x2，∴x2+y2=y+y2，

∴x2+y2-y=y2+y，

∴==y+.

上式表示平面上的動點P（x，y）到定點F（0，）的距離正好等于動點P（x，y）到定直線y=-的距離，完全符合拋物線的定義.

二、注重探索，培養創新思維

按照“歸納—類比—猜想—證明”的思維策略設計教學過程，引導學生運用已有的經驗、知識、方法去探索與發現，使其獲得新知的同時，不斷提高創新能力.

案例2：講授完橢圓標準方程的推導過程之后，可以對學生進行如下的引導：

在方程+=2a中，如果把看作一項，把看作另一項，你還能想到什么？

學生不難想到此式可以理解為三數成等差數列，進而可設=a+d，=a-d.

兩式平方相減得：4cx=4ad?圯d=x，代入=a+d，再兩邊平方即可得到橢圓的標準方程.更有趣的是，把d=x代入=a+d和=a-d，分別可得到=a+ex和=a-ex.可以發現：以上兩式左邊是橢圓上的點到兩焦點的距離（焦半徑），即可得到橢圓上任意一點的兩個焦半徑分別為a+ex和a-ex.

我們在=a-ex的右邊提取出e可得：=e（-x）＞0，所以=e，此等式就是橢圓的第二定義.

三、培養學生敏銳的觀察力和豐富的想象力，提高學生的思維能力

觀察是創造的基礎，只有通過觀察才會發現問題，進而思考問題.因此，教學時，教師要引導學生對觀察到的現象進行適當的分析，并通過聯想，實現數與形、未知與已知、特殊與一般的轉化，從而獲得解題的途徑，達到解決問題的目的.

案例3：求證：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

證法1：（分析法）

要證（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），

展開得a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+b2c2+a2d2+b2d2，即2abcd≤a2d2+b2c2，由基本不等式知上式成立，從而原不等式成立.

通過觀察題型，我們還可以發現此不等式的結構具有“B2-AC≤0”這一特征.教師可以啟發、引導學生聯想二次函數f（x）=Ax2+2Bx+C（A≠0）的判別式，經過這一點撥，學生馬上得出另一證法.

證法2：(構造二次函數)

令f（x）=（a2+b2）x2-2（ac+bd）x+（c2+d2）（a2+b2≠0）

則f（x）=（ax-c）2+（bx-d）2≥0對一切實數x∈R恒成立，根據二次函數的性質可知：?駐=4（ac+bd）2-4（a2+b2）（c2+d2）≤0，

即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

另外，當a2+b2=0時，亦成立.

為了使學生的思維能力得到進一步提高，教師還可以引導學生用三角換元法來證明此題.

如果設a2+b2=r12，c2+d2=r22，再聯想到三角恒等式，則會得到另一證法.

證法3：（換元法）

令 a2+b2=r12，c2+d2=r22.

設a=r1cos?琢，b=r1sin?琢，c=r2cos?茁，d=r2sin?茁，則

（ac+bd）2=r12r22（cos?琢cos?茁+sin?琢sin?茁）2

=r12r22cos2（?琢-?茁）≤r12r22=（a2+b2）（c2+d2）.