曉一聲而操千曲 觀一劍而識兵器

〔關鍵詞〕 題目；推廣；應用

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2009）06（B）—0056—01

一、題目

△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別為（-6，0）、（6，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于-，求頂點C的軌跡方程．

解：設頂點C的坐標為（x，y），依據題意得

#8226;=-，

化簡得：

+=1，

因A、B、C三點不共線，故頂點C的軌跡方程為+=1（y≠0）．

二、推廣

由-=-推廣得：

若△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別為（-a，0）、（a，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于-（a＞b＞0），則頂點C的軌跡方程為：+=1（y≠0）．

性質1如圖1，橢圓+=1上不在長（短）軸端點的點與其長（短）軸的兩端點A、B的連線的斜率之積等于定值-．

證明：不妨設點A、B是長軸的兩端點，設點C的坐標為（x0，y0）（x0≠±a），則kAC=，kBC=.

∵C（x0，y0）在橢圓+=1上，∴+=1.

變形得： y02==-，

∴kAC#8226;kBC=#8226;===

-．

當點A、B為短軸的兩個端點時，證明方法相同．

性質2如圖2，橢圓+=1上任一點P到任一直徑（通過橢圓中心的弦）兩端點A、B的連線的斜率之積等于定值-（PA、PB不平行于坐標軸）．證明（略）

性質3橢圓+=1上的任意一條不和坐標軸平行且不過原點的弦AB的斜率與此弦中點M和橢圓中心連線的斜率之積等于定值-．

證明：因為直線AB不平行于坐標軸且不過原點，所以可設直線AB的方程為y=kx+m，聯立直線方程和橢圓方程得方程組y=kx+m+=1 消去y得：

x2（+）+x+=0，

∴x1+x2=-=-．

設中點M的坐標為（x0，y0），則x0==-，

y0=kx0+m=-+m=，

∴kOM===-，

∴ kAB#8226;kOM=k（-）=-.

三、應用

例：已知一直線與橢圓4x2+9y2=39相交于A、B兩點，弦AB的中點為M（1，1），求直線AB的方程．

解：kOM=1，M是弦AB的中點，根據性質3有kOM#8226;kAB=-，從而kAB=-，又因為M（1，1）是弦AB的中點，由點斜式得直線AB的方程為

y-1=-（x-1）.

整理得： 4x+9y-13=0．