由案例感悟數學教學的有效性

案例一我在教授“二元一次方程組”一節中，對所任教的兩個平行班級做了一次對比實驗，七(6)班采用補充大量例題、習題，而七(7)班則著重滲透數學思想方法，單元測試中，七(6)班成績略高，三個月后再測驗，七(7)班成績遠遠超過七(6)班，這說明大量補充例、習題，近期效果好：著重滲透數學思想方法，則遠期效果好，

感悟目前數學教學中普遍存在“兩重兩輕”現象——重數學內容的傳授，輕數學思想方法的滲透；重具體的、特殊的解題方法，輕一般性的、功能性強的解題方法，其結果是陷入“題?！保霈F“見樹不見林”的現象，事實上，數學教學內容是“數學基礎知識”、“數學方法”、“數學思想”的有機整合，其中“數學思想方法”是核心要素，且以隱性形式彌漫于教材的各章節之中，或隱藏于課后的習題之內，往往易被老師忽略，因此，教學設計要處理好“顯性”數學知識與“隱性”數學思想方法的關系，一要了解初中數學中有哪些常見的數學思想和方法，常見的數學思想大致可分為八種：化歸思想、數形結合思想、分類討論思想、整體思想、方程思想、函數思想、統計思想、特殊化思想，數學方法則更多，有數形結合法、分類討論法、配方法、換元法、待定系數法、等量代換法、賦值法、估算法等；二要善于提煉提純、濃縮概括教材中所隱含的數學思想和方法；三要在教學設計中強化滲透力度，使學生靈活運用數學思想方法駕馭數學知識，形成解決數學問題的能力，因為，從長遠效果看，一般遷移的作用總是大于特殊遷移的作用，在《數學課程標準》總目標中特別提出學生要“獲得適應未來社會生活和繼續學習所必需的數學基本知識、技能以及基本的數學思想方法”，我們在教學中要真正使數學思想方法成為學生將知識轉化為能力的紐帶，形成良好數學素養的橋梁，這樣就可提高教學的有效性。

案例二如圖1，已知AABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=2，P，Q分別是邊AB，BC上的動點，且點P不與A，B重合，點p不與B，C重合，當CQ的長取不同的值時，ACPQ是否可能為直角三角形?若可能，請求出CQ的范圍；若不能，說明理由。

這是我校一次模擬考試中的一道題，考試前我們做了一次對比實驗：九(6)班講了這道題，九(4)、九(5)兩個班沒有講，考試結果出乎意料：講過的班級有三名學生做對：沒有講的班級各有兩名學生做對。

感悟這次實驗對我校的數學教學觸動很大，如果不認真反思，我們還將繼續做“無用功”。

1 講過了還做不出來，說明這道題難度大，解題方法獨特，解題過程中思維跳躍跨度大，因而教師在例題教學中要選準教學起點，要把學生認知結構中原有的知識經驗作為教學的出發點，不能任意拔高，在課堂教學中使剛“我們已經知道”、“我們已經學過”等字眼時，我們必須研究學生學的狀況，學生到底知不知道，理解的程度如何。是否運用自如等，在找準學生的“最近發展區”后，確定例題教學的起點，為了幫助學生克服學習困惑，提高教學的有效性，可以從學生原有的知識結構出發，設計如下三個問題：

(1)如何判定直線和圓的位置關系?

(2)張華與李明在討論問題：“已知線段a，6。求作Rt△ABC，使∠C=90°，AB=a，AC=b”時，提出了如圖2的畫法：①畫線段AB=a；②以AB為直徑畫⊙O；③以A為圓心，b為半徑畫圓與⊙0交于點c，連接BC，則△ABC為所求作的三角形。

在張華的畫法中，他是應用了什么知識得到∠C=90°的?

(3)如圖3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，E為BC上：一點，當a，b滿足什么關系時，△AED是直角三角形?

有了這樣的分層練習，大部分學生就能深刻理解這個問題就是以CQ為直徑的圓與AB是否有交點的問題了，這樣，教師在學生認知基礎與教學目標之間進行了合理分層、增設臺階，使學生始終處于一種“跳一跳摘到果子”的狀態，就可減少教學中的無效行為，因此，合理設置教學起點，合理分層可提高例題教學的有效性。

2 我在講授這道題目時，覺得是行云流水、天衣無縫，可學生解這道時卻仍然無從下手，原因何在?因為學生對這樣的聽懂僅限于對例題解法的“知其然，而不知其所以然”；還沒有告訴學生這又快又好的解題背后“拙劣”的探索經歷，正因為沒有這“拙劣”的探索經歷的“回放”，造成了例題教學中對數學思維培養的缺失，學生沒有真正掌握解題的基本方法，添加的問題(3)與本題屬于“類化習題”，它們具有相同的解題方法，這樣便于學生在學習過程中發現解題規律，學生不再是被動地接受解題方法。而成為了習題的研究者，因此，培養學生如何用數學的眼光來看問題，如何用數學的思維來解決問題，以“類化習題”發現解題通法，遠比直接指明解題之路更有利于提高例題教學的有效性，也可以說例題教學的有效性來自對數學思維培養的潛移默化。