數學教學重在培養學生的基本素養和能力

一、大專班數學教學的功能

數學是一門重要的基礎課程，它對學生的發展起著非常重要的作用。但是，如果我們在學生中做個調查，讓他們實話實說對數學這門學科的感受，恐怕得到的答案是令我們非常沮喪的。在很多學生的心目中，數學就像一個惡魔:抽象，煩瑣，枯燥而無法逃避。其實，數學本身是美的，是精彩而簡潔的。我越來越多地體會到數學這一學科的精妙之處，而如何讓學生也對它產生同樣的看法，則成了擺在我面前的一個難題。我們如果注意觀察學生從小學開始的數學學習生涯，會發現他們在小學低年級階段對數學大多有著濃厚的興趣，那一階段的學習內容直接和他們的生活相關。但隨著學習內容難度的加深，數學學習離他們的生活和經驗越來越遠，在他們的印象中，數學逐漸變成了一個又一個的符號、公式、定理和習題。在經過了無盡的各種題型訓練的折磨以后，很多學生對數學越來越害怕，完全無興趣可言。為什么要有那么多的題型訓練?答案當然是為了讓學生考試有一個好分數。這是由我國的考試制度和評價體系決定的，我們無法改變。當學生來到了師范學院后，他們已經沒有了高考和升學的壓力，數學學習就不會受到高考制度的牽制。在這種條件下，還數學教育本來的面目，重新思考數學教育對人的發展到底意味著什么，數學教育的作用和價值到底在哪里，就成了師范學院數學教師首先要解決的問題。

《全日制義務教育數學課程標準》提出，要實現“人人學有價值的數學;人人都能獲得必要的數學;不同的人在數學上得到不同的發展”。我認為，這一理念對師范學校的數學教學同樣有著指導意義。首先，數學是師范學校學生的基礎性課程，使學生學到作為一個公民所應具備的數學知識是數學教育的基本要求。其次，“人人都獲得必要的數學”是對全體學生的要求。對于師范學校的學生，“必要的數學”是指那些適應今后的工作和生活，以及社會發展所必要的數學知識和數學活動經驗，基本的思想方法和必要的應用技能。最后，“不同的人在數學上有不同的發展”這一理念，對于師范學院的學生，我把它理解為不同層次、不同專業的學生在數學上應有不同的要求和發展。例如，對于小學教育理科專業的學生，為了適應高年級階段學習《高等數學》的需要，在學習三角函數的時候，我要求他們不僅掌握三角函數的圖像和性質，還必須對它們的反函數(反三角函數)的定義域、值域、單調性、奇偶性等一系列的性質，以及它們的圖像掌握得非常清楚。而同樣的內容對于其它專業的學生則沒有必要作如此高的要求。又如，對于函數的作圖，其它專業的學生只需掌握基本初等函數的圖像即可，而對于理科專業的學生，掌握f(x)+c，f(x+c)，f(|x|)，|f(x)|，cf(x)這樣的基本變換則是今后進一步學習必備的技能。再如，為了適應今后的小學數學教學，為了能將一些自然現象和社會現象用數學語言進行描繪，以便在未來的教學中創設恰當的教學情境，理科教育專業的學生必須有一定的數學建模的能力，而這一要求對其他學生則相對要求低一些。類似這樣的例子還有很多。我們只有意識到不同學生在數學上有不同的需要，以及學生在學習上永遠存在的差異，才能準確地確定教學的目標，更好地設計教學的方法。學到一定的數學知識不應該是師范學校數學教育的最終目標，思維能力的發展也不是教學的最終要求。我們在教學中有過分強調數學本身的系統性的傾向，往往把向學生提供一些嚴密的數學體系和現成的數學結果當成我們教學的重要任務。擺在我們面前的難題是我們怎樣通過數學教育使學生了解和喜歡上數學;怎樣使他們在學習的過程中去認識數學的價值;怎樣培養學生把實際問題變成數學問題，即“數學化”的能力;怎樣培養學生數學的思考方法，即遇到問題怎樣去思考。我想，這些遠遠比學到數學知識本身重要得多。

二、大專班數學教學的方法

學生應該用什么樣的方法去學習數學?教師應該用怎樣的方式將教學內容呈現給學生?這是每一個教師都在不斷思考的問題。要讓自己的教學受到學生的歡迎，讓數學課堂充滿生機，以下幾點是我們要設法做到的。

首先，我們要善于創設教學情境，善于提出問題，揭示矛盾，用問題思考驅動數學學習。例如，對于函數的概念，我在教學中發現，它的定義本身并不能刺激學生去思考和應用。如果問學生為什么要學習和研究函數，學生往往回答“不知道”。的確，生活中現成的函數是不存在的，但生活中卻有大量的有著真實意義的變量，如時間、身高、銷售收入、電話卡上的余額等，而這些變量是存在一定關系的，如年齡和身高，銷售收入、銷售量和單價，等等。那么，變量之間又有哪幾種關系呢?(1)完全不相關。(2)一變量由另一個變量確定。(3)一變量由多個變量共同確定。(4)不確定。而正是對這些關系的研究推動了各種數學的誕生。如由(2)產生一元函數微積分學，由(3)產生多元函數微積分，由(4)產生概率論。如果學生對函數有了這樣的認識，我想他們對函數這一概念的實質就有了深刻的理解。這遠比他們記憶定義要有意義得多。

其次，在課堂教學中對于那些抽象的概念，我們不能照本宣科，從定義出發展開教學內容，而應該從一些重要的問題出發，一步一步引入概念和定義，揭示這一概念的實質。如對于極限的概念，如果我們在教學中像原來自己上大學時教師教學那樣，一下子抬出它的ε-δ定義義，而不引導學生對極限的本質進行探索，學生就會不明所以。我們可以通過一些實例，如圓的面積，球體的體積，曲線的切線斜率、曲線的漸進線等，讓學生首先在頭腦中形成對極限概念的理解和認識，然后引導學生分析極限的要素:它是想象中無限發展的過程，在這些過程中我們可以觀察到一種趨勢或一列數據，隨著這一過程的不斷發展，看它是否無限趨近于某一位置或某個常數，如果有，則為它的極限。通過這樣的方式學習極限理論，學生學到的是它的精髓。

再次，我們要在教學中引導學生自己思考。學生自己發現問題，會得出某些結論，有時甚至是一些重要的結論。在講授排列組合時，我曾經有意同時安排了如下兩個練習:

1.在100件產品中，有95件合格品，5件次品，從中任取2件，求:(1)2件都是合格品的抽法。(2)2件都是次品的抽法。(3)1件是合格品、1件是次品的抽法。

2.有9張卡片，分別標有數字1、2、3…9，從這9張卡片中任取2張，求:(1)抽出的數字都是奇數的抽法。(2)抽出的數字都是偶數的抽法。(3)抽出的數字一奇一偶的抽法。

在解答過程中，善于觀察的學生發現了這樣的表達式:

c=c+c+c×c

c=c+c+c×c

進一步觀察這兩個式子的特征，有學生得到了如下的猜想:若N=m+n，則c=c+c+cc(m≥2，n≥2)。進一步的證明驗證了這一猜想的正確性。這不僅培養了學生思維的廣闊性和深刻性，而且讓學生體會到了發現的快樂。引導學生思考其實也是教師的職責之一，對于那些數學基礎較弱而又不愛動腦筋的學生，我們要采取一定的措施，“強迫”他們去思考。

最后，我們要給學生留出思考的空間，留一些學生力所能及的問題，讓他們去探究。如學完二項式定理后我讓學生研究楊輝三角，學了多面體后我讓學生研究歐拉定理等。實踐證明，只要教給學生一定的方法，引導他們一小步一小步去發現規律，他們是可以自己得出一些結論的。這樣的結論，其意義遠遠大于教師告訴的現成結果。他們在此過程中不但會學到終身受用的研究問題的方法，而且獲得的成功體驗將會大大激發他們對數學的興趣。

三、大專班數學教學的評價

師范學院對學生的學習評價由平時成績和期末考試兩部分組成。由于考查了學生平時的學習情況，在很大程度上對學生平時的學習起到了督促的作用，也避免了一張考卷定成績對學生的不公平。對學生的平時成績的評定，我們注重了學生的考勤，上課時的聽課情況，以及課堂課后作業的完成情況，但往往對學生學習數學的積極性和自信心關注不夠，對學生的學習過程，以及學習的習慣與態度在評價中也沒有足夠的反映。

數學是一門很重要的學科，期末考試幾乎是必考科目。我們的考試現在還是一種只重視結果的評價方式，而且考試多以知識技能為核心，重點考查學生的知識掌握程度和技能熟練程度。然而我們也注意到，這種評價方式實際上并不能完全反映學生的學習情況，而且它不是完全公平的，因為學生的基礎不同，要讓他們在付出相同努力的條件下取得同樣的成績，顯然有失偏頗，這就像對不同年齡段的學生要求他們用相同的時間跑完100米一樣。學生的學習能力和數學基礎有差異，這是永遠存在的問題。如果利用評價激勵學生的數學學習，更多地關注他們在學習上取得的進步，診斷他們在學習上存在的困難，幫助他們形成正確的學習預期，那就做到了評價為教學服務。再者，對數學學習的評價在很大程度上對學生有導向作用，如果不只是將評價的目標限定在學生對概念、運算和解題技巧的考核上，就會使學生在學習的過程中不只關注這些目標而忽視其它方面的目標，這無疑會對學生數學素養的提高和全面發展有著非常重要的意義。