正軸測投影的基本方程組及其應用

王伯年， 王宏光， 葛長清

（1. 上海理工大學，上海 200093；2. 上海第二工業大學，上海 211209）

軸測投影在技術制圖（機械制圖和建筑制圖等）、電腦圖形學、繪畫與廣告等諸多領域均有著重要的應用，尤其在新版高中數學中，將軸測投影列入教學內容，使得學習與應用軸測投影的對象大為增加，其重要性更顯突出。

自1853 年發現Pohlke 定理以來，軸測投影在理論與應用方面已取得了長足的進展，已出版了一些與之有關的專著或其他著作[1-4]。然而，有關軸測投影的一些重要問題，如對正軸測投影可以合理任選2 個給定參數的問題，對斜軸測投影可以合理任選4 個給定參數的問題，似乎已有的分析尚不夠充分和完備，有的還有些失誤。其實，任一問題涉及n 個參數，而有k 個方程約束這些參數的取值時，首先應合理選定(n k? )個參數，再用這k 個約束方程將其余的k 個參數予以確定。從此基本觀點出發，軸測投影6 個軸測參數確定的問題，即可迎刃而解。

對于正軸測投影，投影面的法線方向就是投影線的方向，這導致其軸間角僅是軸向伸縮系數的函數，這一特點是斜軸測投影所不具備的。因此，本文專論正軸測投影，斜軸測投影的問題將在另文中論述。

1 軸測投影的基本概念與基本問題

研究軸測投影的目的是將三維的幾何物體藉平行投影將其投影到單一的投影面上，并要求投影面上的圖形具有直觀性和度量性。直觀性是指看了投影面上的平面圖形大致可以了解到三維形體的形狀；度量性是指投影面上的平面圖形與三維形體之間的幾何尺寸有對應關系。

基本上有二種方法可達到以上的目的：基于幾何變換的矩陣法[5]和基于投影、坐標系和向量的投影解析法。前者易于陷入數字概念和運算之中，不易分清什么是約束條件和約束方程，不宜為本文所采用：后一方法，直接與軸測投影的目的相通，概念清晰，數學推導也十分簡單，是應該采用的方法。

因為軸測投影有度量性的要求，必需首先依靠坐標系建立三維形體的數形結合問題。確定三維形體最簡單的坐標系是直角坐標系，設其為o xyz? ，從此坐標系原點o 引一有向線段指向形體任一點p，則op 向量可表示為

上式中 x y z、 、 分別為P 點沿x 軸、y 軸、z軸的坐標，1e 、2e 、3e 分別為各坐標軸的單位向量。式（1）將點p 的坐標與op 向量聯系起來。

稱上式的p、q、r 為ox、oy、oz 軸的軸向伸縮系數。此外，尚需確定o′ x ′、o′ y ′、o′ z ′之間的夾角，設在投影面上o′ x ′與o′ y ′的夾角為θ1、o′ y ′與o′ z ′的夾角為θ2、o′ z ′與o′ x ′的夾角為θ3（從一坐標軸逆時針轉向另一坐標系的夾角為正，反之為負）并分別稱θ1、θ2、θ3為相應坐標軸之間的軸間角。從幾何直觀可知，應有θ1+θ2+θ3=2π。

如果確定了p、q、r 和1θ 、2θ 、3θ ，那么o xyz? 和o′-x′ y′ z′之間的對應關系也就確 定了，軸測投影的度量性問題和基本問題也就解決了。

2 正軸測投影基本方程組的建立

圖上的點o′是原坐標系原點o 的投影點（見圖1），投影面與ox、oy、oz 相截的點，既是形體上的點x、 y 、 z，又是它們各自的投影點x′、y′、z′。只要把點o 在投影面上的投影點o′確定了，ox、oy、oz 各自的投影線o′ x ′、o′ y ′、o′ z ′也就確定了，而且o′ x ′、o′ y ′、o′ z ′的延長線，就是ox、oy、oz 投影后的新坐標軸線。

在△oo′ x (也即△oo′ x ′)中，oo′與ox 的夾角為α1，因o′ x (也即o′ x ′)垂直于oo′，ox 與o′ x ′ 的夾角為( π /2 ? α1)。對此直角三角形應有

也即

對于△oo′ y (也即△oo′ y ′)和△oo′ z （也即△oo′ z ′），同理有

式(5) 、 式(7) 和 式(9) 相 加， 并 考 慮 到n ?n=cos2α1+cos2α2+cos2α3=1，即可得到

上式是制約p、q、r 取值的一個約束方程。由于sin 1α ≤ ，由式(4)、式(6)和式(8)可知，應有

再考慮到式(10)和式(11)，應有

式(11)和式(12)就是p、q、r 合理取值時，所應遵守的限制條件。 標系xy 、yz 、zx 三個坐標平面上的三個直

圖1 建立正軸測投影基本方程組的圖示

為確定θ1、θ2、θ3還應考慮在為o ? xyz坐角三角形△oxy、△oyz、△ozx 投影到投影面為△o′ x ′ y ′、△o′ y ′z ′、△o′ z ′x ′時的面積關系： 一平面上的圖形正投影為另一平面的圖形，原圖形的面積乘二平面之間夾角的余弦（此夾角又等于此二平面法線的夾角）等于投影圖形的面積。 因此，對△oxy 和△o′ x ′ y ′而言，xy 平面與投影面的夾角為α3，因此有

上式中 θ1為o′ x ′與o′ y ′之間的軸間角。由上 式可得

以式(4)、式(6)和式(9)代入上式，得到

對于△oyz 與△o′ y ′z ′、△ozx 與△o ′z ′x ′同理可得

由式(13)、式(14)和式(15)可以看到，對于正軸測 影投，軸向角θ1、θ2、和θ3僅是p、q、r 的 函數，這是正軸測投影異于斜軸測投影的一個顯著特點。

因此，式(10)、式(13)、式(14)和式(15)這4 個方程，構成了約束p、q、r、θ1、θ2和θ3取 值的基本方程組。顯然，正軸測投影6 個參數中，可以合理地給定的參數數為2。

對式(13)、式(14)和式(15)，分別平方后相加，并考慮式(10)，得到

將上式與式(10)結合，得到

式(16)或式(17)，可以取代上述4 個方程中一個，但它們在形式上均較上述4 個方程更為復雜，而不宜在正軸測投影中采用，這是正軸測投影異于斜軸測投影的另一顯著特點。

3 正軸測測投影基本方程組的應用

3.1 正等測軸測投影

正等測軸測投影是國際標準[6]和國家標準[7]重點推薦的3 種軸測投影之一，其含義是

上式給定了二個約束條件，即3 個軸向伸縮系數是相等的。此時，由式(10)可得

同時，此時有θ1= θ2= θ3= θ，由式(13)，或式(14)，或式(15)可得

以上θ 的二值中，θ =120°是應取之值，因3θ=360°才符合θ1+θ2+θ3=360°的幾何要求。

3.2 正二測軸測投影

這也是ISO 和GB 重點推薦采用的軸測投影之一，正二測的含義是

以上式代入式(10)，可得

在p、q、r 之值確定后，由式(13)、式(14)和式(15)，可得

由上式可知，所求出的三軸間角之和為360°，這也是考慮到θ 的合理取值而得到的。

3.3 給定二軸向伸縮系數的軸測投影

為簡化有關方程的書寫與推導，用下標法將式(10)改寫為

上式的 i、j、k 下標，按1→2→3→1→2的順序取值，如i=1， ri= p， rj= q， rk= r；如 i = 2, ri= q , rj= r ,rk= p ；如 i = 3, ri= r, rj= p, yk= q 。 給定 ri和 rj時，按式(24)應有

當 ri、 rj、 rk確定后，對于軸向角，可用式(13)、式(14)、式(15)的統一關系式求出

上式下標 i、j、k 的含義與對式(24)所述的相同。

3.4 給定二軸間角的軸測投影

當θi和θj給定時，對于θi按式(26)應有

由上式可得

對于θj，與式(26)相應有

由上式可得

式(27)等于式(28)，化簡后可得

上式是給定 θi和θj后，求出 rj的解析解。rj求出后，可按式(27)求出 ri，再按式(25)求出 rk。至于θk，即可按

求出，也可更簡單地按θk= 2π ? θi?θj求出。

3.5 給定一軸向伸縮系數和一軸間角的軸測投影

對于式(26)，有3 種給出此2 參數的方法：

（1）給定θi和 ri

此時，有

由上式可得

解上式可得

ri和 rj已知后，由式(25)求出 rk2；然后由相應式(26)的公式求出θj和θk。

（2） 給定θi和 rj

與導出式(31)的方法相同，可得

（3） 給定θi和 rk

由式(26)可得

化簡上式可得

由上式可得

由以上分析可以看出：在給定2 個參數的各種情況下，確定正軸測投影的其他參數，均有解析解。

4 結 論

（1） 基于投影、坐標系和向量的基本概念和基本性質，可以十分簡單地推導出約束正軸測投影6 個參數取值的4 個約束方程，并由此得到求解正軸測投影諸參數的基本方程組。

（2） 對于正軸測投影，可以合理地任意給定2 個軸測參數，其余的4 個參數可由基本方程組確定。

（3） 本文給出了在給定2 個參數的各種情況下，確定其他參數的解析解，這些解非但推導正確，并通過數值計算證實了這些解析解的正確性。

[1] [前蘇聯]格拉祖諾夫. 軸測投影學[M]. 徐良佐譯. 北京： 高等教育出版社, 1956. 77-82.

[2] 徐宏文. 軸測投影[M]. 天津： 天津大學出版社, 1986. 41-46.

[3] 包太茲. 軸測投影理論與應用[M]. 李世銓譯. 北京：機械工業出版社, 1988. 41-49.

[4] 葉玉駒, 簡召全. 高等畫法幾何[M]. 北京： 國防工業出版社, 1990. 435-448

[5] David F Rogers. Mathematical elements for computer graphics (2nded.)[M]. New York： McGraw-Hill, 1990. 141-206.

[6] ISO 5456-3： 1996 [E]. Technical drawings-projection methods-part 3： Axonometric representation[S].

[7] GB/T 14692-93 技術制圖 投影法[S].