兩面多框可構視圖中存在不可構表面的條件

2010-01-01 01:46:54周宗團陳翔鶴

圖學學報 2010年3期

周宗團，曹敏，陳翔鶴

（西安工程大學，陜西西安 710048）

在對可構視圖研究的過程中，發現在有些可構視圖中存在有不可構表面，也就是說，由這類可構視圖構造空間形體時，有某些封閉圖框所表達的表面形狀始終保持不變。那么，可構視圖在滿足什么條件時會存在不可構表面呢？如果弄清楚這個問題，不僅可指導人們按照自己的意圖設計可構視圖，而且可大大提高人們構形設計的速度和準確性。

陳翔鶴曾對文獻[1]中可構視圖中存在不可構表面的條件進行過研究，指出在單面單框視圖、單面多框視圖和兩面單框視圖中均不存在不可構表面，并歸納出在兩面多框可構視圖中存在不可構表面的條件。但在教學實踐的過程中，發現當時歸納的規律有不全面和不嚴謹的地方，這里對兩面多框可構視圖中存在不可構表面的條件又重新進行了系統研究和歸納，望同行專家指正。

1 兩面多框可構視圖中存在不可構表面的條件

（1）當兩面多框可構視圖中存在有對稱同類形圖框時，則該對稱同類形圖框分別為形體上兩個不可構表面[2]。

在這里，對稱同類形圖框必須具有以下3 個特征：① 圖框的邊數相同，點對應點、直線對應直線、直角邊對應直角邊；② 圖框上必存在與某投影軸平行的一對應邊，且該對應邊距所平行的投影軸的距離最近；③ 圖框上至少有一對應邊與可構視圖中同面點集反向傾斜相交或反向傾斜。換句話說，如果設定的兩面多框可構視圖為主、俯視圖時，對稱同類形圖框上必有一對應邊同時平行于X 軸，且該對應邊距X 軸距離最近；如果設定的兩面多框可構視圖為主、左視圖時，則對稱同類形圖框上必有一對應邊都平行于Z 軸，且該對應邊距Z 軸距離最近；滿足以上3個幾何特征的封閉圖框即為對稱同類形圖框。

如圖1(a)所示的主視圖和俯視圖是一組兩面多框可構視圖，該組視圖均由兩個封閉圖框組成且為對稱形狀，主視圖2′、3′兩點連線和俯視圖1、3 兩點連線均與左右兩側的同面點集反向傾斜相交，由于在△153 和△2′3′4′這對對稱同類形圖框中，圖框線1、5 和圖框線2′、4′都平行X 軸（15//2′4′//X 軸），且兩圖框線距離X 軸最近，因此，a′和b 兩封閉圖框為對稱同類形圖框，它們是形體上兩個不可構表面。通過進一步分析可以看出，a′和b 兩封閉圖框是形體上兩個不同表面的投影，如A 面為一正平面，B 面為一水平面，因此，在構造空間形體時，該對稱同類形圖框所表達的表面形狀始終保持不變，如圖1 所示[3]。

在圖1 所示視圖中的另外兩個封閉圖框△123和△1′2′3′中，雖然也有一對應邊平行X 軸（1′3′//23//X 軸），但這兩條邊到X 軸的距離不是最小，所以△123 和△1′2′3′不是對稱同類形圖框，它們是對應同類形圖框。通過進一步分析可以看出，由于在△123 和△1′2′3′這對對應同類形圖框中含有同面點集，因此該對應同類形圖框是形體上的可構結構。

圖1 存在不可構表面的視圖

在圖2、圖3 和圖4 中的a′和b"兩封閉圖框均滿足對稱同類形圖框的三個條件，因此，a′和b"是對稱同類形圖框；在圖5、圖6 和圖7 中a′和b 兩封閉圖框也為對稱同類形圖框，它們都是形體上的不可構表面[4]。

圖2 具有對稱同類形圖框

圖3 具有對稱同類形圖框

圖4 具有對稱同類形圖框

圖5 具有對稱同類形圖框

圖6 具有對稱同類形圖框

圖7 具有對稱同類形圖框

（2）當兩面多框可構視圖中存在不含有同面點集的對應同類形圖框時，則該對應同類形圖框為形體上一個不可構表面（對應同類形圖框的定義與文獻[5]完全相同）。

如圖8 所示，a′和a 是一對不含同面點集的對應三角形，它們是形體上同一個面的兩個投影，因此，在構造空間形體時，該對應同類形圖框所表達的表面形狀始終保持不變。而其余兩個對應封閉圖框，均為含有同面點集的對應三角形圖框，因此它們是視圖中的可構結構。

圖8 不含同面點集的對應同類形圖框

圖9 所示的a′和a 也是一對不含同面點集的對應梯形，它們也是形體上同一個面的兩個投影，因此，在構造空間形體時，該對應同類形圖框所表達的表面形狀始終保持不變。

圖9 不含同面點集的對應同類形圖框

（3）當兩面多框可構視圖中存在含有同面點集的非三角形的對應多邊同類形圖框，且該圖框線中至少有一對應邊與同面點集傾斜或斜交時，則該對應同類形圖框亦為形體上的一個不可構表面。

如圖10 所示的a′和a 為含有同面點集對應五邊同類形圖框，且兩封閉圖框中有一條圖框線與一同面點集斜交，因此，在構造空間形體時，該對應同類形圖框所表達的表面形狀也始終保持不變。圖11 所示的b′和b"兩封閉圖框和圖12所示的c′和c 兩封閉圖框雖然都含有同面點集，但在各封閉圖框圖中至少有一條圖框線與同面點集傾斜，因此，在構造空間形體時，該對應同類形圖框所表達的表面形狀也始終保持不變。

（4）當一投影直線與一封閉圖框對應，且該封閉圖框線不與視圖中兩同面點集出現部分重合時，該封閉圖框亦為不可構表面。

由正投影原理可知，當一封閉圖框與一投影直線對應時，所表示的空間平面有兩種情況：一是當投影直線處于平行于某投影軸線時，該投影直線表示的是投影面平行面；二是當投影直線傾斜于某投影軸線時，表示的是投影面垂直面；因此，這時該封閉圖框所表示的平面均為不可構表面。如圖13 所示，B、C、D、E、F 面均為不可構表面，其中B、C 為對稱同類形圖框；D、E面均為投影面平行面；F 面是一鉛垂面。而A 是含有同面點集的對應三角形圖框，因此該對應同類形圖框是形體上的可構結構。

圖10 含同面點集的對應多邊同類形圖框

圖11 含同面點集的對應多邊同類形圖框

圖12 含同面點集的對應多邊同類形圖框

圖13 封閉圖框與一投影直線對應

在圖14 所示中的C、D 面均為不可構表面，其中C 為一對應同類形圖框；D 是一直線對應封閉圖框的水平面。值得注意的是，雖然E 也是一直線對應一封閉圖框，但由于該封閉圖框的左右兩邊線與視圖中的外輪廓的兩同面點集出現部分重合，因此，這時E 面是可構表面而非不可構表面。而A、B 是含有同面點集的對應三角形圖框和矩形圖框，因此該兩個對應同類形圖框是形體上的可構結構[6]。