賞析中考數學題中融入圓概念的數學思想

在近幾年的各地中考中，數學思想的考查備受命題者的青睞與關注，它更能考查學生對數學知識、方法、規律的本質認識及分析、解決問題的能力和數學素養，而圓作為初中階段最核心、最重要的內容，越來越被作為呈現知識、能力和數學思想的載體.為此，讓我們結合2009年各地中考試題，一同感受圓中的數學思想.

一、方程思想

方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型，是研究數量關系的重要工具.我們把所要研究的問題中的已知與未知量之間的相等關系，通過建立方程或方程組，并求出未知量的值，從而使問題得解的思想方法稱為方程思想.方程思想在實際問題、代數和幾何中都有著廣泛的應用.

例1:(2009年浙江省湖州市)如下圖，在平面直角坐標系中，直線l∶y=-2x-8分別與x軸，y軸相交于A，B兩點，點P(0，k)是y軸的負半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作⊙P，連結PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關系，并說明理由.

思路點撥:要判斷⊙P與x軸的位置關系，關鍵是看圓心P到x軸的距離PO與圓半徑3之間的關系，借助直線l:y=-2x-8與坐標軸交點坐標，進而利用Rt△AOP中的勾股定理構建方程從而使問題得到解決.

解析:⊙P與x軸相切.

直線y=-2x-8與x軸交于A(-4，0)，與y軸交于B(0，-8)，∴OA=4，OB=8.

由題意，OP=-k，∴PB=PA=8+k，在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=-3.

∴OP等于⊙P的半徑，∴⊙P與x軸相切.

點評:方程思想的構建與應用是整個初中階段最為重要的核心內容和基本思想方法，常常深受命題者的青睞和關注.尤其方程模型在解決有關幾何圖形的計算時，集中體現方程思想、數形結合的數學思想，只要我們能把握具體幾何問題情境中條件與結論之間的關系，常常利用相似圖形、三角函數、勾股定理、圖形之間的相關性質、定理或內在聯系等構建方程模型，進而提高分析、綜合問題的能力及運用所學知識分析、解決實際問題的能力，從而達到舉一反三、觸類旁通的效果.

二、分類討論思想

分類思考的方法是一種重要的數學思想，同時也是一種解題策略.在數學中，我們常常需要根據研究對象性質的差異，按照一定的標準，把有關問題轉化為幾個部分或幾種情況，從而使問題明朗化，然后逐個加以解決，最后予以總結得出結論的思想方法.

例2:(2009年廣西壯族自治區河池市)如下圖1，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°.

(1)求∠AOC的度數;

(2)在上圖1中，P為直徑BA延長線上的一點，當CP與⊙O相切時，求PO的長;

(3)如上圖2，一動點M從A點出發，在⊙O上按逆時針方向運動，當S△MAO=S△CAO時，求動點M所經過的弧長.

思路點撥:在(3)中，要使S△MAO=S△CAO，必滿足三角形的同底等高，即點M到AB的距離一定等于點C到AB的距離，借助圓的對稱性便能找出具備這樣條件的點M有4個.

解析:(1)∵∠OAC=60°，OC=OA ，

∴ △ACO是等邊三角形，∴ ∠AOC=60°

(2)∵ CP與⊙O相切，OC是半徑，

∴ CP⊥OC，∴ ∠P=90°-∠AOC=30°，

∴ PO=2CO= 8 .

(3)如圖3，① 作點C關于直徑AB的對稱點M1，連結AM1，OM1 ，易得S△M1AO=S△CAO，∠AOM1= 60°，