方案設計問題在中考中的命題特點及主要解法(下)

上一期我們對方案設計問題進行了透徹的分析，并例舉了一些重點題型供老師們參考，本期就不等式(組)、概率和函數3個方面進行介紹.

1.利用不等式(組)進行方案設計型

例1:(2009年黑龍江省哈爾濱市)躍壯五金商店準備從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件進行銷售.若每個甲種零件的進價比每個乙種零件的進價少2元，且用80元購進甲種零件的數量與用100元購進乙種零件的數量相同.

(1)求每個甲種零件、每個乙種零件的進價分別為多少元?

(2)若該五金商店本次購進甲種零件的數量比購進乙種零件的數量的3倍還少5個，購進兩種零件的總數量不超過95個，該五金商店每個甲種零件的銷售價格為12元，每個乙種零件的銷售價格為15元，則將本次購進的甲、乙兩種零件全部售出后，可使銷售兩種零件的總利潤(利潤=售價-進價)超過371元，通過計算求出躍壯五金商店本次從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件有幾種方案?請你設計出來.

分析:(1)實際是一個分式方程的問題，方程的問題關鍵是找準相等關系式:用80元購進甲種零件的數量與用100元購進乙種零件的數量相同.(2)由于題目要求購進兩種零件的總數量不超過95個;全部售出后可使銷售兩種零件的總利潤超過371元，可列出不等式組從而解得購甲(或乙)零件個數的取值范圍，根據取值范圍，就能求出購進甲、乙兩種零件有幾種方案.

解:(1)設每個乙種零件進價為x元，則每個甲種零件進價為(x-2)元.

解得，x=10.

檢驗:當x=10時，x(x-2)≠0，∴x=10是所列分式方程的根.

∴每個甲種零件進價為x-2=10-2=8.

∴每個乙種零件進價為10元，則每個甲種零件進價為8元.

(2)設購進乙種零件y個，則購進甲種零件(3y-5)個.

由題意得3y-5+y≤95(12-8)(3y-5)+(15-10)y>371

解得，23

∵y為整數，∴y取24或25，

當y=24時，3y-5=67;當y=25時，3y-5=70.

∴共有兩種方案，分別是:

方案一:購進甲種零件67個，乙種零件24個;

方案二:購進甲種零件70個，乙種零件25個.

說明:本題從知識角度看，將方程與不等式(組)有機結合起來，著重考查學生分析問題、找準方程(組)相等關系式、不等式(組)不等關系式的能力、列(解)方程(組)和列(解)不等式(組)的能力.解這類問題時需要學生有一定的生活常識，其關鍵是找準方程(組)相等關系式、不等式(組)不等關系式.設計方案時，一是要求未知數的標準范圍，二是注意好不要漏寫未知數的取值.

本題從命題角度看，以商品購買這一考生熟悉的經濟問題為背景，具有現實意義.不同的購買方法會產生不同的成本開支和銷售收入，產生不同的利潤.方案選擇不同可大大節約開支，增加收益，對快速發展經濟很有幫助.這樣的考題可以不斷提高學生的應用意識和實踐能力.近年來許多考題都取自學生熟悉的生活環境，這樣的題目背景自然真實、內容豐富、情境多樣，充分體現時代氣息，給數學知識及數學教學賦予生機與活力.因此，設置這樣的處理現實問題的考題對培養學生的應用意識和分析、解決問題的能力很有幫助，這是今后中考命題的一個趨勢.

2.利用概率知識進行方案設計

例2:(2009年湖北省孝感市)某班6名同學組成了一個“幫助他人，快樂自己”的體驗小組.他們約定一學期每人至少參加一次公益活動.學期結束后，他們參加公益活動的統計圖如下.

(1)這個體驗小組一學期參加公益活動的人均次數是____次;

(2)從這6名同學中任選兩名同學(不考慮先后順序)，他們參加公益活動的次數恰好相等的概率是多少?

分析:(1)求體驗小組一學期參加公益活動的人均次數即是求出6人參加公益活動的次數和除以6.(2)求這6名同學中任選兩名同學參加公益活動的次數恰好相等的概率需要找到6人中任選兩名同學參加公益活動的所有可能情況，以及參加公益活動次數相等有幾種可能情況.(答案如下.)

(1)3;

(2)設這6名同學中只參加1次公益活動的是A，參加了3次公益活動的是B1、B2、B3，參加了4次公益活動的是C1、C2.

從中任選兩名同學，有AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、B1B2、B1B3、B1C1、B1C2、B2B3、B2C1、B2C2、B3C1、B3C2、C1C2共15種情況.

參加公益活動次數相等的有B1B2、B1B3、B2B3、C1C2共4種情況.

說明:本題注意到了選題的現實性，以某班6名同學組成了一個“幫助他人，快樂自己”的體驗小組為命題背景，對大多數學生來說都是熟悉的，因而試題公平性得以保證.求概率問題往往通過樹狀圖或列表法來列舉問題的所有可能情況以及事件發生所包含的所有可能情況，進而求出事件發生的概率，但有時也需要用列舉法中的全排列來找到問題的所有可能情況以及事件發生的所有可能情況(如本題即是采用全排列法列舉6名學生中任選兩名學生參加公益活動的所有可能情況).

3.利用函數進行方案設計型

例3:(2009年吉林省)某數學研究所門前有一個邊長為4米的正方形花壇，花壇內部要用紅、黃、紫3種顏色的花草種植成如右上圖所示的圖案，圖案中AE=MN.準備在形如Rt△AEH的4個全等三角形內種植紅色花草，在形如Rt△MEH的4個全等三角形內種植黃色花草，在正方形MNPQ內種植紫色花草，每種花草的價格如下表:

說明:上題的背景圖來自我國三國時期的數學家趙爽證明勾股定理的幾何圖形，稱為“趙爽弦圖”，也是2002年在北京召開的國際數學家大會(TCM-2002)的會標，它標志著中國古代的數學成就，數學問題歷史氣息濃厚.這類題目主要考查學生的閱讀理解能力、分析問題和知識遷移能力以及解決實際問題的能力，很好地體現了新課程的理念.

解利用函數進行方案設計型問題主要應把握兩點:①根據題目所提供的信息找到所表達的數量關系并得到函數關系式;②求出未知數的取值范圍或特殊值，再通過計算、判斷和比較得出問題的所需方案.

在求函數關系式時要注意兩點:①有時為了得到函數關系式可能會用到全等、相似、勾股定理以及其他數學知識(如本題求S與x之間的函數關系式);②在求函數關系式的過程中要注意自變量和函數值的取值范圍.

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編輯/張燁