因“錯”而獲

筆者曾看過這樣一道習題及其解法，現介紹如下:

題目:已知，如圖1，AB>AC，∠A的平分線與BC的垂直平分線GD交于點D，過D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證:BE=CF.

證明:連結BD，DC，

∵GD是BC的垂直平分線，

∴BD=CD.

∵AD是∠BAC的平分線且DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF.

∴△BDE≌△CDF(HL).

∴BE=CF.

這是一道考核角平分線和線段垂直平分線的好題，可是我的學生在做該題時卻提出了另外一種情況，如下:

∵AD是∠A的平分線且DE⊥AB，DF⊥AC，

∴△AED≌△AFD(AAS).

∴AE=AF，

又∵AB>AC，

∴AB-AE>AC-AF，即BE>CF.

怎么會這樣呢?學生首先想到的是題目有問題:是不是應該省去已知條件AB>AC?或者直線AD和GD根本不相交?還是結果應該為BE≤CF?學生提出這些問題的同時又否定了這些問題.會不會是圖畫錯了?于是學生按照尺規作圖的方法，準確地畫出∠A的平分線AD和線段BC的垂直平分線DG，準確地畫出DE⊥AB和DF⊥AC.最后發現點F不在線段AC內，而在線段AC的延長線上，正確的圖形應該如圖2所示.

那么，到底是BE=CF正確呢?還是BE>CF正確?學生很快就會發現:從AB-AE>AC-AF得到的是BE>CF，并不是BE>-CF，這與BE=CF并不矛盾.

通過這一意外發現，進一步提高了學生探究學習的熱情.