幾何計(jì)算型綜合題在中考中的命題特點(diǎn)

幾何計(jì)算型綜合題，是以計(jì)算為主線，綜合各種幾何知識(shí)的題型. 它涉及幾何圖形的基本知識(shí)和基本性質(zhì)，體現(xiàn)基本幾何圖形間的緊密聯(lián)系，重點(diǎn)考查學(xué)生讀圖識(shí)圖、探究推理、準(zhǔn)確運(yùn)算等能力，在近年全國(guó)各地中考試卷中占有相當(dāng)大的比例.

一、幾何計(jì)算型綜合題的主要特點(diǎn)

幾何計(jì)算型綜合題的主要特點(diǎn)是包含知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、邏輯關(guān)系復(fù)雜、解法靈活.這類題著重考查學(xué)生熟練掌握三角形、四邊形、三角函數(shù)、圓等幾何知識(shí)，及較熟練地應(yīng)用轉(zhuǎn)化、方程、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等常見的數(shù)學(xué)思想，分析問題和探究問題、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 因此，解題時(shí)學(xué)生應(yīng)該在充分利用幾何圖形的性質(zhì)及題設(shè)的基礎(chǔ)上，充分挖掘幾何圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，在復(fù)雜的“背景”下辨認(rèn)、分解基本圖形，通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形，并善于聯(lián)想所學(xué)知識(shí)，合理運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想，使問題得到合理化歸，達(dá)到解決問題的目的.

二、幾何計(jì)算型綜合題的主要命題方式

從近幾年的中考來(lái)看，幾何計(jì)算型綜合題的呈現(xiàn)形式多樣，如折疊型、探究型、開放型、運(yùn)動(dòng)型、情境型等，其背景鮮活，具有實(shí)用性和創(chuàng)造性，在考查考生計(jì)算能力的同時(shí)，考查考生的閱讀理解能力、動(dòng)手操作能力、抽象思維能力、建模能力……力求引導(dǎo)考生將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中去.

【情境型】

所謂情境幾何計(jì)算型綜合題就是以社會(huì)熱點(diǎn)、焦點(diǎn)問題為背景，聯(lián)系生活實(shí)際編擬的幾何計(jì)算型綜合題.數(shù)學(xué)情境作為溝通現(xiàn)實(shí)世界與學(xué)習(xí)世界的橋梁，與之相關(guān)的這些試題則讓人耳目一新，體現(xiàn)了中考命題改革與時(shí)俱進(jìn)的時(shí)代特色，讓學(xué)生在情境中觀察、操作，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題，可使學(xué)生更好地適應(yīng)數(shù)學(xué)問題的挑戰(zhàn)，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察問題，培養(yǎng)“數(shù)感”和應(yīng)用意識(shí)，有效地考查了學(xué)生在新情境下對(duì)問題的遷移能力，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的能力.近幾年各地的數(shù)學(xué)中考命題已越來(lái)越注重情境題的設(shè)置.

例1:(2009年安徽省)學(xué)校植物園沿路護(hù)欄紋飾部分設(shè)計(jì)成若干個(gè)全等菱形圖案，每增加一個(gè)菱形圖案，紋飾長(zhǎng)度就增加dcm，如下圖所示.已知每個(gè)菱形圖案的邊長(zhǎng)10cm，其一個(gè)內(nèi)角為60°.

(1)若d=26，則該紋飾要231個(gè)菱形圖案，求紋飾的長(zhǎng)度L;

(2)當(dāng)d=20時(shí)，若保持(1)中紋飾長(zhǎng)度不變，則需要多少個(gè)這樣的菱形圖案?

分析:由題目“每增加一個(gè)菱形圖案，紋飾長(zhǎng)度就增加dcm”可知紋飾的長(zhǎng)度L應(yīng)等于第一個(gè)菱形圖案水平方向?qū)蔷€的長(zhǎng)度加上增加的長(zhǎng)度.增加的長(zhǎng)度等于d等乘以增加的菱形的個(gè)數(shù).

解:(1)菱形圖案水平方向?qū)蔷€長(zhǎng)為 10×cos30°×2=30cm，按題意，L=30+26×(231-1)=6 010cm.

(2)當(dāng)d=20cm時(shí)，設(shè)需x個(gè)菱形圖案，則有:30+20×(x-1)=6 010，

解得x=300，即需300個(gè)這樣的菱形圖案.

評(píng)注:解幾何情境計(jì)算型綜題要求考生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功，較強(qiáng)的觀察力，豐富的想象力及綜合分析問題的能力，學(xué)生解題時(shí)要切實(shí)把握幾何圖形變化過程，并注意變化過程中特殊位置， 發(fā)現(xiàn)題目情境與問題間的聯(lián)系，抓住情境變化的規(guī)律，探索出具有規(guī)律性的結(jié)論，從而找到解決問題的方法.

【建模型】

“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)數(shù)學(xué)建模提出了明確要求，強(qiáng)調(diào)“從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解析與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展” .強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模的能力，不僅能使學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和方法，也能增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高分析、解決實(shí)際問題的能力.

例2:(2009年甘肅省定西市)圖(1)是一扇半開著的辦公室門的照片，門框鑲嵌在墻體中間，門是向室內(nèi)開的.圖(2)畫的是它的一個(gè)橫斷面.虛線表示門完全關(guān)好和開到最大限度(由于受到墻角的阻礙，再也開不動(dòng)了)時(shí)的兩種情形，這時(shí)二者的夾角為120°，從室內(nèi)看門框露在外面部分的寬為4cm，求室內(nèi)露出的墻的厚度a的值.(假設(shè)該門無(wú)論開到什么角度，門和門框之間基本都是無(wú)縫的.精確到0.1cm， ≈1.73 .)

分析:從圖中可以看出，在室內(nèi)厚為acm的墻面、寬為4cm的門框及開成120°的門之間構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，且室內(nèi)露出的墻的部分所對(duì)的角為60°.

從而a=4×tan60° =4× ≈6.9(cm)，即室內(nèi)露出的墻的厚度約為6.9cm.

評(píng)注:初中建模分為“方程(組)”模型、“不等式(組)”模型、“函數(shù)”模型、“幾何”模型、“統(tǒng)計(jì)”模型.由于幾何與人類生活實(shí)際密切相關(guān)，所以諸如測(cè)量、航海、建筑、工程定位、道路拱橋設(shè)計(jì)等涉及一定圖形的性質(zhì)時(shí)，常需建立幾何模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過抽象、簡(jiǎn)化建立，能近似刻畫并解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段.數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，實(shí)際上是對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題能力的培養(yǎng).在建模能力的培養(yǎng)過程中，要求學(xué)生要會(huì)如何將實(shí)際問題經(jīng)過分析、簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決.

【規(guī)律型】

新教材和各地中考題中為我們提供了很多“探究規(guī)律”的問題，這種題目一般常采用從問題的簡(jiǎn)單情形或特殊情況入手，通過對(duì)簡(jiǎn)單情形進(jìn)行特殊情況的試驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或做出某中猜想，從而找到解決問題的途徑和方法.這類題目要求學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，懂得分析，善于歸納、總結(jié)，它不僅有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法的鞏固和掌握，也有利于學(xué)生思維能力的提高和自主探索、創(chuàng)新精神的培養(yǎng).

例3:(2009年廣東省)如圖所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O.以O(shè)B、OC為鄰邊作第1個(gè)平行四邊形OBB1C，對(duì)角線相交于點(diǎn)A1;再以A1B1、A1C為鄰邊作第2個(gè)平行四邊形A1B1C1C，對(duì)角線相交于點(diǎn)O1;再以O(shè)1B1、O1C1為鄰邊作第3個(gè)平行四邊形O1B1B1C1;…，依此類推.

(1)求矩形ABCD的面積;

(2)求第1個(gè)平行四邊形OBB1C、第2個(gè)平行四邊形A1B1C1C和第6個(gè)平行四邊形的面積.

分析:從圖形的變化規(guī)律來(lái)看，第1個(gè)圖形是矩形，第2個(gè)圖形是菱形，第3個(gè)圖形是矩形，….即按矩形→菱形→矩形→菱形→…的順序構(gòu)圖;從圖形的邊來(lái)看，第一個(gè)圖形的對(duì)角線的一半，是張二個(gè)圖形的邊，…;從構(gòu)圖來(lái)看，第一個(gè)圖形矩形邊長(zhǎng)，是第二個(gè)圖形菱形的對(duì)角線，第二個(gè)圖形菱形對(duì)角線的一半，是第三個(gè)矩形的邊長(zhǎng)，….

解:(1)∵四邊形ABCD是矩形，AC=20，AB=12，

∴∠ABC=90°，BC= ==16，

∴S矩形ABCD =AB#8226;BC=12×16=192.

(2)∵OB∥B1C，OC∥BB1，∴四邊形OBB1C是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OC，∴四邊形OBB1C是菱形，

∴OB1⊥BC，A1B= BC=8，OA1= =6，

∴OB1=2OA1=12，

∴S菱形OBB1C=BC#8226;OB1=×16×12==96.

同理:四邊形A1B1C1C是矩形，∴S矩形A1B1C1C=A1B1#8226;B1C1=

6×8==48.

……

第n個(gè)平行四邊形的面積是:Sn= ，

∴S6==12 .

評(píng)注:規(guī)律型分成5類:數(shù)字規(guī)律探索型、代數(shù)式規(guī)律探索型、幾何變換規(guī)律探索型、排列規(guī)律探索型、數(shù)形結(jié)合規(guī)律探索型. 對(duì)于幾何規(guī)律型計(jì)算綜合題，我們應(yīng)該先觀察圖形排列順序的規(guī)律， 然后把它們轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)據(jù)，并根據(jù)規(guī)律用代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)模型表示事物的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律的過程.解題過程中，如果思維受阻，可利用特殊值、歸納、類比等方法進(jìn)行大膽猜想，分析每一步與前一步或前幾步之間的聯(lián)系，這樣更容系發(fā)現(xiàn)規(guī)律或證明通過歸納所猜想規(guī)律的正確性.

【函數(shù)型】

綜觀歷年各地的中考試題，幾乎都出現(xiàn)函數(shù)與幾何綜合問題.從題型上來(lái)看，絕大多數(shù)是探索題與計(jì)算題，在設(shè)計(jì)方法上都注重創(chuàng)新，注重在初中數(shù)學(xué)主干知識(shí)的交匯處進(jìn)行命題，都突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和能力的考查.因此解決這類問題時(shí)要靈活運(yùn)用函數(shù)知識(shí)，注意挖掘題目中隱藏條件，注意數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、分類討論等數(shù)學(xué)思想運(yùn)用.

例4:(2009年廣東中山市)正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直.

(1)證明:Rt△ABM∽R(shí)t△MCN;

(2)設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AMCN面積最大，并求出最大面積;

(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，求x的值.

分析:對(duì)于第(2)問，由于梯形的下底和高已知，要求梯形的面積，借助(1)只需求出高即;(3)問，由于Rt△ABM與Rt△AMN有一個(gè)直角對(duì)應(yīng)相等，要使兩個(gè)三角形相似，只需夾直角的邊對(duì)應(yīng)成比例，可得= ;又AM和MN也是相似三角形Rt△ABM與Rt△MCN的對(duì)應(yīng)邊，由(1)可知=，從而可求得BM=MC.

解:(1)在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，

∵AM⊥MN，∴∠AMN=90°， ∴∠CMN+∠AMB=90°.

在Rt△ABM中，∴∠MAB+∠AMB=90°，

∴∠CMN=∠MAB，∴Rt△ABM∽R(shí)t△MCN.

(2)∵Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，

∴=， ∴= ，∴CN=.

∴y= S梯形ABCN =( +4)×4

=-x2+2x+8=- (x-2)2+10，

當(dāng)x=2時(shí)，y取最大值，最大值為10.

(3)∵∠B=∠AMN=90°，

∴要使△ABM∽△AMN，必須有=，

由(1)知=，∴BM=MC.

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△ABM∽△AMN，此時(shí)x=2.

評(píng)注:函數(shù)與幾何綜合型試題一般綜合性強(qiáng)、應(yīng)用數(shù)學(xué)方法多、結(jié)構(gòu)新穎靈活、注重基礎(chǔ)能力、探索創(chuàng)新和數(shù)學(xué)思想方法，它要求學(xué)生有良好的心理素質(zhì)和過硬的數(shù)學(xué)基本功，能從已知所提供的信息中提煉出數(shù)學(xué)問題，從而靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和掌握的基本技能創(chuàng)造性地解決問題.正因如此，解決這類問題時(shí)，要注意解決問題策略，常用的解題策略一般有以下幾種:1.綜合使用分析法、綜合法;2.運(yùn)用方程的思想;3.注意使用分類討論的思想;4.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想;5.運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想.

【折疊型】

中考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，幾何折疊型計(jì)算題屢見不鮮， 問題立意新穎，變幻巧妙，通常是把某個(gè)圖形按照給定的條件折疊，通過折疊前后圖形變換的相互關(guān)系來(lái)命題.這類問題源于教材而高于教材，其圖形對(duì)稱和諧、新穎獨(dú)特.這類題型是考查學(xué)生動(dòng)手能力、觀察圖形能力、分析推理能力、書面表達(dá)能力、靈活應(yīng)變能力和想象能力的好題型.對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力非常有效.解決幾何折疊型計(jì)算型試題的有效途徑是從尋找、構(gòu)造基本圖形和基本題型的角度出發(fā)，尋找其求解的關(guān)鍵切入點(diǎn).

例5:(2009年湖北省恩施自治州)如下圖，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面積為25，點(diǎn)D為AB邊上的任意一點(diǎn)(D不與A、B重合)，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E.設(shè)DE=x，以DE為折線將△ADE翻折，所得的△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y.

(1)用x表示?△ADE的面積;

(2)求出0

(3)求出5

(4)當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大?最大值是多少?

分析:折疊的實(shí)質(zhì)就是軸對(duì)稱，解題的關(guān)鍵是抓住軸對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)，尋找到折疊前后的不變量.對(duì)于(2)，由于0

解:(1)∵ DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴△ADE∽△ABC，∴=()2，即S△ADE= x2.

(2)∵BC=10，∴BC邊所對(duì)的三角形的中位線長(zhǎng)為5，

∴當(dāng)0

(3)5≤x<10時(shí)，點(diǎn)A'落在三角形的外部，其重疊部分為梯形.

∵S△A'DE=S△ADE= x2，

∴DE邊上的高AH=AH'=x.

由已知求得AF=5，∴A'F=AA'-AF=x-5，

由△A'MN∽△A'DE知，=()2 ，

∵S△A'MN =(x-5)2，∴y=x2-(x-5)2=- x2+10x-25.

(4)在函數(shù)y= x2中，∵0

∴當(dāng)x=5時(shí)y最大為: .

在函數(shù)y=-x2+10x-25中，

當(dāng) x=-=時(shí)，y的最大為: .

∵ < ，∴當(dāng)x= 時(shí)，y最大為: .

評(píng)注:本題利用圖形折疊的不變性，探索圖形在翻折旋轉(zhuǎn)過程中的有關(guān)規(guī)律.問題設(shè)置實(shí)質(zhì)是相似三角形面積的求法，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜漸次展開，使學(xué)生在解決問題的過程中逐漸認(rèn)清問題的本質(zhì).隨著新課程的實(shí)施，近幾年中考中不斷涌現(xiàn)出這類以圖形的變換為載體的動(dòng)態(tài)型試題.

折疊型問題常結(jié)合平移、軸對(duì)稱、三角形相似(全等)、勾股定理、方程、函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行綜合應(yīng)用.問題涉及面廣，靈活性強(qiáng)，對(duì)分析問題、解決問題的能力要求較高，由于這類問題還可以讓學(xué)生在考試的過程中動(dòng)手操作，在圖形的變化之中蘊(yùn)涵著從特殊到一般的探究思想，為學(xué)生搭建起了一個(gè)真正“動(dòng)”起來(lái)的研究平臺(tái)，重在考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探究能力，故能較好地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念.

【旋轉(zhuǎn)型】

旋轉(zhuǎn)是現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)中廣泛存在的現(xiàn)象，是現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)變化的最簡(jiǎn)捷的形式之一，是幾何圖形一種重要的變換方法，它不僅是探索圖形一些性質(zhì)的必要手段，而且也是解決現(xiàn)實(shí)世界中的具體問題以及進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要工具.“課程標(biāo)準(zhǔn)”把它列為初中生必學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，并以單獨(dú)的章節(jié)把它編入初中數(shù)學(xué)教材.近幾年以圖形為載體、以旋轉(zhuǎn)為手段考查學(xué)生操作、想象、探究能力的中考題層出不窮.

例6:(2009年黑龍江省牡丹江市)已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF=90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長(zhǎng)線)于E、F.當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)(如圖1)，易證S△DEF+S△CEF= S△ABC.當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立?若成立，請(qǐng)給予證明;若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.

分析:本題屬計(jì)算型證明題.要證明圖2成立，就是將圖2進(jìn)行合理割補(bǔ)，變成圖1即可.為了出現(xiàn)圖1的正方形CFDE，可過點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥BC，垂足分別為M、N(或看作將△DEM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°得△DNF)，只需證明△DEM與△DNF全等即可.

解:圖2成立;圖3不成立.

證明圖2:過點(diǎn)D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足為M、N.

則∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，

易證∠MDE=∠NDF，DM=DN，

∴△DEM≌△DNF，∴S△DEM=S△DNF，

∴S四邊形DMCN=S四邊形DECF=S△DEF+S△CEF.

由信息可知S四邊形DMCN =S△ABC，

∴S△DEF+S△CEF= S△ABC .

圖3不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC的關(guān)系是:S△DEF - S△CEF= S△ABC .

評(píng)注:本題在探索圖形旋轉(zhuǎn)過程中的有關(guān)規(guī)律中，讓學(xué)生體驗(yàn)圖形旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，同時(shí)也考查了學(xué)生空間想象、規(guī)律探索、推理能力以及分析問題、解決問題的能力.解決這類問題的關(guān)鍵是要把握以下兩點(diǎn):一是在解題時(shí)，認(rèn)真觀察圖形，不放過每一個(gè)細(xì)節(jié)，看清旋轉(zhuǎn)的角度和方向，找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)前后的相關(guān)的角與邊，在旋轉(zhuǎn)的過程中，弄清變與不變的量;二是在解決這類問題時(shí)，我們通常將其轉(zhuǎn)換成全等形求解，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的特征，找到對(duì)應(yīng)的全等形，通過線段、角的轉(zhuǎn)換達(dá)到求解的目的.

本題從特殊到一般，再到特殊，就是要讓學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化中探究不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)，再?gòu)牟蛔兊臄?shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，尋求變化的規(guī)律，題設(shè)層層遞進(jìn)，一環(huán)扣一環(huán)，使學(xué)生經(jīng)歷了問題探究的全過程，從而考查了學(xué)生分析問題、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題的能力.這類問題要求學(xué)生要在觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等活動(dòng)的基礎(chǔ)上，獲得數(shù)學(xué)猜想并對(duì)所作的猜想進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的嚴(yán)密的邏輯論證，有條理地進(jìn)行證明.

【運(yùn)動(dòng)型】

運(yùn)動(dòng)型問題富于變化 ，它對(duì)學(xué)生知識(shí)的廣度和分析問題的能力都有很高的要求.近年中考數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)類試題可以分為三類:動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線、動(dòng)形.常見的題型有:求滿足條件的點(diǎn)、隨動(dòng)點(diǎn)變化的兩變量間的函數(shù)關(guān)系;常見的運(yùn)動(dòng)方式有點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)在折線上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，一個(gè)點(diǎn)動(dòng)、兩個(gè)點(diǎn)動(dòng)等.解幾何運(yùn)動(dòng)型綜合題的關(guān)鍵在于運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)在每一時(shí)刻都可以看成是靜止的，只要在動(dòng)中找出不變的東西，就可以將運(yùn)動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為不動(dòng)的問題.

例7:(2009年廣西壯族自治區(qū)河池市)如下頁(yè)圖1，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，OC=4，∠OAC= 60°.

(1)求∠AOC的度數(shù);

(2)在圖1中，P為直徑BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，當(dāng)CP與⊙O相切時(shí)，求PO的長(zhǎng);

(3)如圖2，一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在⊙O上按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)S△MAO=S△CAO時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長(zhǎng).

分析:對(duì)于第(3)問，由于△MAO與△CAO有共同的邊AO，所以要使兩個(gè)三角形面積相等，只需同底邊上的高相等即可.如圖3，過點(diǎn)C作AB的垂線CM1交⊙O于點(diǎn) M1，由垂徑定理可知，點(diǎn)M1與點(diǎn)C到AO的距離相等，故S△M1AO=S△CAO.根據(jù)平行線間的距離相等，故過點(diǎn)M1作M1M2∥AB交⊙O于點(diǎn)M2，過點(diǎn)C作CM3∥AB交⊙O于點(diǎn)M3則點(diǎn)M2、C、M3到AO的距離都等于點(diǎn)C到AO的距離.

解:(1)∵ 在△ACO中，∠OAC= 60°，OC=OA ，

∴ △ACO是等邊三角形，∴ ∠AOC= 60°.

(2)∵ CP與⊙O相切，OC是半徑，∴ CP⊥OC，

∴ ∠P=90°-∠AOC=30°，∴ PO=2CO=8.

(3)如圖3， ① 作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M1，

連結(jié)AM1、OM1.

易得S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60° ，

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M1時(shí)，

點(diǎn)M經(jīng)過的弧長(zhǎng)為=×60=?仔.

② 過點(diǎn)M1作M1M2∥AB交⊙O于點(diǎn)M2，

連結(jié)AM2、OM2，易得S△M2AO=S△CAO.

∴ ∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°，

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M2時(shí)，

點(diǎn)M經(jīng)過的弧長(zhǎng)為=×120=?仔.

③ 過點(diǎn)C作CM3∥AB交⊙O于點(diǎn)M3，

連結(jié)AM3，OM3，易得S△M3AO=S△CAO，

∴ ∠BOM3=60°， ∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M3時(shí)，

點(diǎn)M經(jīng)過的弧長(zhǎng)為 ×240=?仔 .

④ 當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，

S△MAO=S△CAO，∠COB=120°，

∴此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長(zhǎng)為 =×300 .

評(píng)注:解決運(yùn)動(dòng)類問題要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，并懂得運(yùn)動(dòng)中的每一時(shí)刻又是相對(duì)靜止的，抓住其中等量和變量關(guān)系，從而找到解決問題的途徑.解題中要注意:1.模擬整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的不同范圍劃分出來(lái)，這樣就把運(yùn)動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為靜止問題;2.無(wú)論如何運(yùn)動(dòng)、求什么問題，一定要和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，求出一些隨之變化的數(shù)量關(guān)系，如線段的長(zhǎng)、角的度數(shù)等;3.若是在直角坐標(biāo)系，要把坐標(biāo)系與幾何圖形聯(lián)系在一起，例如將隨之運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)，或?qū)㈦S之運(yùn)動(dòng)的線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo);4.若是與函數(shù)圖像結(jié)合的，注意合理運(yùn)用點(diǎn)在函數(shù)圖像上，點(diǎn)的坐標(biāo)適合函數(shù)解析式等特點(diǎn).