稀世珍奇的梅森素?cái)?shù)

2009年4月，挪威計(jì)算機(jī)專家斯特林德莫通過參加一個(gè)名為“因特網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”(GIMPS)的國際合作項(xiàng)目，發(fā)現(xiàn)了第47個(gè)梅森素?cái)?shù)，該素?cái)?shù)為2^42643801-1，即“2的42 643 801次方減1”。它有12 837 064位數(shù)，如果用普通字號將這個(gè)巨數(shù)連續(xù)寫下來，它的長度超過50千米!專家們認(rèn)為，這一重大發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)研究和計(jì)算技術(shù)中最重要的成果之一。

梅森素?cái)?shù)的由來

素?cái)?shù)也叫質(zhì)數(shù)，是只能被1和自身整除的數(shù)，如2，3，5，7等。公元前三百多年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德用反證法證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，并提出，了少量素?cái)?shù)可寫成2^p-1(其中指數(shù)P為素?cái)?shù))的形式。此后許多數(shù)學(xué)家，包括數(shù)學(xué)大師費(fèi)馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯等都研究過這種特殊形式的素?cái)?shù)，而17世紀(jì)的法國著名數(shù)學(xué)家梅森是其中成果最為卓著的一位。

由于梅森學(xué)識淵博，才華橫溢，并是法蘭西科學(xué)院的奠基人，為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界就把2^p-1型的數(shù)稱為“梅森數(shù)”，并以M。記之；如果M。為素?cái)?shù)，則稱之為“梅森素?cái)?shù)”。兩千三百多年來，人們嘔心瀝血，尋尋覓覓，僅發(fā)現(xiàn)了47個(gè)梅森素?cái)?shù)。由于這種素?cái)?shù)稀世珍奇，因此被人們譽(yù)為“數(shù)學(xué)珍寶”。梅森素?cái)?shù)歷來是數(shù)學(xué)研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是當(dāng)今科學(xué)探索的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。

艱辛的探究歷程

“看似平凡最崎嶇，成如容易確艱辛”(王安石詩)。梅森素?cái)?shù)的研究不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進(jìn)行艱巨的計(jì)算。1772年，有“數(shù)學(xué)英雄”美譽(yù)的歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了M₃₁(即2³¹-1=2147483647)是一個(gè)素?cái)?shù)。它具有10位數(shù)字，堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。歐拉的毅力和技巧都令人贊嘆不已，難怪法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯向他的學(xué)生們說：“讀讀歐拉，他是我們每一個(gè)人的老師。”

梅森素?cái)?shù)的探究不僅極富挑戰(zhàn)性，而且對研究者來說有一種巨大的榮譽(yù)感。例如，1963年9月6日晚上8點(diǎn)，當(dāng)?shù)?3個(gè)梅森素?cái)?shù)M₁₁₂₁₃通過大型計(jì)算機(jī)被找到時(shí)，美國廣播公司(ABC)中斷了正常的節(jié)目播放，在第一時(shí)間發(fā)布了這一重要消息。發(fā)現(xiàn)這個(gè)素?cái)?shù)的美國伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生感到無比驕傲，為讓全世界都羨慕其成就，以至把所有從系里寄出的信封上都印上了這個(gè)素?cái)?shù)。

隨著素?cái)?shù)P值的增大，每一個(gè)梅森素?cái)?shù)M。的產(chǎn)生都艱辛無比；而各國科學(xué)家及業(yè)余研究者們?nèi)詷反瞬黄＃ち腋偁帯＠纾?979年2月23日，當(dāng)美國克雷研究公司的計(jì)算機(jī)專家史洛溫斯基宣布他找到第26個(gè)梅森素?cái)?shù)M₂₃₂₀₉時(shí)，有人告訴他：在兩星期前美國加州的高中生諾爾就已經(jīng)給出了同樣結(jié)果。為此他又花了一個(gè)半月的時(shí)間，使用Cray-1型計(jì)算機(jī)找到了新的梅森素?cái)?shù)M₄₄₄₉₇。這件事成了當(dāng)時(shí)不少報(bào)紙的頭版新聞。后來，史洛溫斯基又找到了6個(gè)梅森素?cái)?shù)，他因此被人們稱為“素?cái)?shù)大王”。

由于梅森素?cái)?shù)在正整數(shù)中的分布是時(shí)疏時(shí)密極不規(guī)則的，加上人們尚未知梅森素?cái)?shù)是否有無窮個(gè)，因此研究梅森素?cái)?shù)的重要性質(zhì)——分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素?cái)?shù)更為困難。中國數(shù)學(xué)家和語言學(xué)家周海中經(jīng)過多年的研究，于1992年給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式，從而揭示了梅森素?cái)?shù)的重要規(guī)律，為人們探究這一素?cái)?shù)提供了方便。后來，這一重大成果被國際上稱為“周氏猜測”。

網(wǎng)格(Grid)這一嶄新技術(shù)的出現(xiàn)使梅森素?cái)?shù)的探尋如虎添翼。1996年初，美國數(shù)學(xué)家和程序設(shè)計(jì)師沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)頁上供數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者免費(fèi)使用。這就是著名的GIMPS項(xiàng)目。只要人們?nèi)IMPS的主頁下載那個(gè)免費(fèi)程序，就可以立即參加GIMPS項(xiàng)目去搜索梅森素?cái)?shù)。

13年來，人們通過GIMPS項(xiàng)目找到了13個(gè)梅森素?cái)?shù)，其發(fā)現(xiàn)者來自美國、英國、法國、德國、加拿大和挪威。目前世界上已有170多個(gè)國家和地區(qū)超過18萬人參加了這一項(xiàng)目，并動(dòng)用了近40萬臺計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)來進(jìn)行網(wǎng)格計(jì)算。該項(xiàng)目的計(jì)算能力已超過當(dāng)今世界上任何一臺最先進(jìn)的超級矢量計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力，運(yùn)算速度超過每秒400萬億次。

為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù)，設(shè)在美國的電子新領(lǐng)域基金會(EFF)不久前向全世界宣布了為通過GIMPS項(xiàng)目來探尋梅森素?cái)?shù)而設(shè)立的獎(jiǎng)金。它規(guī)定向第一個(gè)找到超過1 000萬位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)10萬美元；后面的獎(jiǎng)金依次為：超過1億位數(shù)，15萬美元；超過10億位數(shù)，25萬美元。其實(shí)，絕大多數(shù)研究者參與該項(xiàng)目并不是為了金錢，而是出于樂趣、榮譽(yù)感和探索精神。

2008年8月，美國計(jì)算機(jī)專家史密斯通過參加GIMPS項(xiàng)目發(fā)現(xiàn)了第46個(gè)梅森素?cái)?shù)M_43112609，該素?cái)?shù)有12 978 189位，是目前已知的最大素?cái)?shù)。他因此獲得了EFF頒發(fā)的10萬美元大獎(jiǎng)。這一素?cái)?shù)被美國《時(shí)代》周刊評為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明”之一。

梅森素?cái)?shù)的意義

梅森素?cái)?shù)在當(dāng)代具有十分豐富的理論意義和實(shí)用價(jià)值。它是發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效途徑；它的探究推動(dòng)了數(shù)學(xué)皇后——數(shù)論的研究，促進(jìn)了計(jì)算技術(shù)、程序設(shè)計(jì)技術(shù)、密碼技術(shù)、網(wǎng)格技術(shù)的發(fā)展以及快速傅立葉變換的應(yīng)用。另外，梅森素?cái)?shù)的探究方法還可用來測試計(jì)算機(jī)硬件運(yùn)算是否正確。

由于探究梅森素?cái)?shù)需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，所以許多科學(xué)家認(rèn)為梅森素?cái)?shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個(gè)國家的科技水平。可以相信，梅森素?cái)?shù)這顆數(shù)學(xué)珍寶正以其獨(dú)特魅力，吸引著更多的有志者去探尋和研究。