在一題多解中培養(yǎng)數(shù)學思維的廣闊性

[摘要]學習數(shù)學，離不開思維，數(shù)學中的各種內(nèi)在聯(lián)系和相互關系只有通過思維才能深刻理解，牢固掌握，本文立足于開闊不同層次學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)和發(fā)揮學生的創(chuàng)造性，文章通過對雞兔同籠這一經(jīng)典問題的研究， 向學生展示不同的思維過程， 讓不同層次學生的數(shù)學思維能力得到提高，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

[關鍵詞]一題多解；數(shù)學；思維

數(shù)學是一門技巧性的學科，最新的《數(shù)學課程標準》中指出學生更需要掌握的是數(shù)學的一般思維方法和數(shù)學思想，這樣的改革要求在基礎教育中更加注重學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，同時為了調(diào)動學生學習數(shù)學的興趣。使不同層次學生的數(shù)學思維能力都得到提高，一題多解在數(shù)學教學中就起到了十分重要的作用，一題多解可以向學生展示不同的思考過程，培養(yǎng)學生思維的開放性，促進創(chuàng)新思維的發(fā)展，是數(shù)學教學中十分重要的一環(huán)。

雞兔同籠問題，是我國古代著名趣題之一，早在《孫子算經(jīng)》中就有了記載：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問：雉兔各幾何7”意思是：有若干只雞和兔同在一個籠里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳，問：籠中各有幾只雞和兔?這個問題經(jīng)過人們多年的研究，發(fā)現(xiàn)了多種解法，下面就從中挑選比較典型的三種方法，以說明一題多解對學生數(shù)學思維能力的鍛煉。

第一種解法：列表法，也叫“嘗試法”“窮舉法”，即根據(jù)題目要求按順序分類，列出所有數(shù)據(jù)組，試出答案，通過這種不斷列舉、嘗試、調(diào)整，最終是能解決問題的，列表法更為直接明了，同時能從中找到規(guī)律，這種方法是大部分學生都能掌握的，但列表法的缺點也很顯而易見，如果數(shù)據(jù)較大，那么我們的嘗試、窮舉也就越多，因此它并不具備普遍性，列表法可以更加直觀地幫助學生解決問題，對大多數(shù)學生來說是一種可以掌握的解決問題的策略。

第二種解法：假設法，假設法需要的邏輯思維水平較高，作為實用性較強的一種解題策略，對于有一定數(shù)學思維基礎的學生來說是可以掌握的，在上面的問題中，有雞和兔兩個未知量，它們地位同等且相互關聯(lián)，所以我們可以任意選擇一個進行假設。

如果假設35只全是兔子，就會有140只腿，多出了46只，為什么會多46只腿?怎樣把多的這些去掉?成為假設法解決問題的關鍵之處。

為了解決這多出的46只腿，那么就需要把兔換成雞，怎么換?換的過程中要注意什么?是在教學中要重點講解的，首先。必須一一對應，一只兔換一只雞，這樣才能保證總數(shù)不變，其次，每換一次，腿的數(shù)量就由4只變?yōu)?只，少了2只，那么減少46只腿要換多少次呢?用除法就可以解決了。

假設法最后需要強調(diào)的是求出的23和12。誰是雞的只數(shù)，誰是兔的只數(shù)。這需要學生充分理解剛剛是如何將兔換成雞的，換的過程中數(shù)量是如何變化的。

用假設法解題首先需要假設題中的情節(jié)發(fā)生了變化，然后在假設的基礎上推理，調(diào)整由于假設而引起的數(shù)量變化，假設法是一種重要的數(shù)學思維方法，有著廣泛的應用，假設法能使復雜的數(shù)量關系明朗化、簡單化，從而幫助我們解決問題，假設法對邏輯思維能力要求較高，理解上有一定難度，但實用性較強，可以對有一定數(shù)學能力的學生作出要求。

第三種解法：方程法，方程是代數(shù)思維最直觀的體現(xiàn)，也是學生進入初中以后會重點學習的一種思維方法。在小學階段，部分學生可以列出方程，但難以解出方程，限制了學生用方程解決問題，不過，方程作為一種重要的思維方法，也可以適當介紹給學生，拓展學生解題思路。

用方程解決該問題有兩點需要注意。第一，設哪一個量為未知數(shù)，由于兩個未知量相互關聯(lián)，所以設兔子和雞都可以。第二就是解方程，這也是用方程解決問題最困難的地方，對小學生來說需要一定的代數(shù)思維能力才能解決，尤其是展開2(35一，)這樣的式子時，雖然學生學習過了乘法分配律，但總會有部分學生只將2乘35，而不乘x但是方程思路簡單，且具有一般性，可以為學生解決其他問題帶去方法。

以上三種方法各有優(yōu)劣，列表法通過逐一列舉、實驗、調(diào)整，最后得到答案，非常直觀，便于觀察，容易理解，是一種樸素的思想方法，也是非常實用的解決問題的策略，是學生由形象思維過渡到抽象思維的一座橋梁，但受到數(shù)據(jù)大小的限制，不能廣泛用之，假設法在推理時會導致思路不清，容易出錯，這也為學生學習、使用這種方法設置了障礙，所以在假設時要使題意明朗化、簡單化，要按照題目中的已知條件進行推算，把假設的結果加以調(diào)整，直到符合題目條件，得到正確答案，此種方法使用范圍更廣，更加具有一般性，在教學時教師需及時指導學生寫好推導過程，避免問題出現(xiàn)，方程的思想是將題目中的信息“翻譯”成代數(shù)語言，需要學生根據(jù)題中的已知條件和未知數(shù)之間的關系，建立一個等式，通過這個等式算出答案，方程思路比較簡單，具有一般性。而且小學高年級的學生已有了一些方程的基礎知識，所以這個方法能理解的學生也有一些。但這方面的知識，小學生掌握的并不多，運用起來也不熟練，所以使用的學生并不多。

雞兔同籠問題很好地詮釋了一題多解給學生思維帶來的廣闊性，在不同的解法中蘊含了不同的數(shù)學思想，甚至在同一種方法中也包含了不同的數(shù)學思想，通過這一典型例題可以讓學生學習到這三種不同的方法，通過對這三種方法的比較，可以讓學生掌握解題的一般步驟，熟悉解題技巧，更重要的是可以讓不同層次的學生的數(shù)學思維能力得到提高，而不僅僅是針對個別優(yōu)秀學生。

三種方法反映了三種不同的數(shù)學思維，從這一典型例題的學習中，可以很好的幫助學生從多個角度觀察、思考、概括，并獲得多種解題途徑，一題多解在一定程度上不僅開闊了學生的視野，也開闊了學生的數(shù)學思維，開發(fā)了學生的創(chuàng)新意識，對學生提高學習數(shù)學的興趣有很大的幫助。