關于小學數學教學中幾個問題的討論(下)

編者按:在2009年12期，我們刊發了張志艷老師整理的《關于小學數學教學中幾個問題的討論(上)》。此文集中討論了“關于左右的確定”、“圓的直徑是圓的對稱軸”等問題，由人民教育出版社丁國忠老師、人教網教材編輯等專家給予了解答。本期刊發此文的后半部分，希望能給讀者以幫助。

一、X=1是方程嗎

X=1是方程，因為它符合方程的定義，它既含有未知數，同時又是等式，而且它的解也是這個方程本身。同樣，X=2和X=3等也都是方程，道理同上。

二、0歸結為自然數相關問題

1.0為什么歸結為自然數?

人民教育出版社丁國忠老師:

隨著九年義務教育小學數學教材(試用修訂版)的陸續使用，我們接到一些小學數學教師、家長和學生的來信、來電，詢問0是否是自然數的問題。現予以解答如下:

從歷史上看，國內外數學界對于0是不是自然數歷來有兩種觀點:一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。建國以來，我國的中小學教材一直規定自然數不包括0。

目前，國外的數學界大部分都規定0是自然數。為了國際交流的方便，1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》(GB 3100～3102-93)《量和單位》(11-2.9)第311頁，規定自然數包括0。所以在近幾年進行的中小學數學教材修訂中，我們的教材研究編寫人員根據上述國家標準進行了修改。既一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。

但是，在小學階段的“整除”部分仍然不考慮自然數0，因而在約數、倍數等概念中都不包括0。另外，一般情況下我們不說數0是幾位數，所以最小的一位數是1。

由于現代數學是建立在集合論的基礎上，而自然數是用來表示集合元素的個數的，既然自然數是用來表示集合元素的個數，就包括空集的狀況，而空集的元素有幾個?那當然是0個。因此0也就很自然地歸到自然數里了。但這樣規定后與傳統的某些知識點發生矛盾，比如:倍數和因數是在非0自然數范圍內研究的，這主要就是一個規定。

2.0化為自然數后，最小的一位數是1還是0?

成都師范大學數學系王尚志老師:

現在，已經明確地把數“0”作為一個自然數看待。聽了很多的解釋，大部分的解釋是把這看做一個“規定”，就是說可以把“0，1，2，…，n，…”作為自然數，也可以把“1，2，…，n，…”作為自然數。顯然，這樣的“解釋”是不夠的。在這兒談談我們的理解，供老師和同學參考。

首先，應該從自然數的功能說起。自然數是人類最早用來描述周圍世界“數量關系”的概念，幾乎從一開始就具有3個基本功能:一個是幫人類來刻畫某一類“東西”的多少，用現代的數學語言來說就是描述一個有限集合的基數(性質);另一個就是刻畫一類“事物”的順序，“第一”，“第二”……用現代的數學語言來說，描述一個有限集合中元素的“順序”性質。這就是說，自然數既具有用來描述集合(有限)元素多少的基數性質，又具有描述集合元素順序的序數性質。或者可以進一步說，自然數既是基數，又是序數。“自然數”的第三個基本功能是“運算功能”。自然數可以做加法運算和乘法運算。在此基礎上，隨著對運算的深入研究，使得我們一步一步地建立起了有理數、實數和它們的運算。

我們知道“空集”是集合中一種最主要也是最基本的集合，也是我們在描述周圍現象中經常用到的集合，在數學中更是經常要用的。例如:所有不能表示為兩個素數之和的偶數集合是空集嗎?這就是哥德巴赫猜想。一般地說，集合常常被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限元素的集合。像學校中人的集合，學校中男人的集合，學校中女人的集合，學校中老師的集合和學生的集合，某個一元二次方程解的集合等等都是有限集合;無限集合是含有的元素不是有限的集合。像自然數集合、有理數集合、實數集合、復數集合等等。把“空集”作為一個有限集合是很自然的，并且我們很容易理解應該用“0”來描述“空集”中含元素的多少。有了前面這些說明，我們就容易理解這樣一個事實:

(1)如果把“0”作為一個自然數，那么“所有自然數”就可以完整地完成刻畫“有限集合元素多少”的“任務”了，而沒有“0”的“所有自然數”總是有“缺陷”，因為沒有自然數可以表示“空集”所含元素的多少。這樣，我們從“自然數的一種基本功能”方面說明了把“0”作為自然數的好處。

我們還必須說明另一個問題:把“0”作為自然數，是否會影響自然數的“序數功能”和“運算功能”?回答是不會的。不僅不會，還會使“自然數”的這兩個功能更加“完整”。先看原來沒有“0”的自然數，我們都知道不同自然數有大小之分，8大于5，1000大于999，按這樣的大小，所有自然數構成了一個“有順序”的集合。既若自然數n1>n2，n2>n3，則自然數n1>n3，我們稱之為“傳遞性”。另外，對于任何兩個自然數n1和n2，或者n1>n2，或者n2>n1，或者n1=n2，即“三歧性”。一般地說，我們把具有傳遞性和三歧性的集合稱之為線性序集。

在這里我們不想用非常規范的集合論語言敘述這些性質，這樣會增加老師們的閱讀困難，希望對這部分內容有進一步了解的讀者可以選讀任何一本“集合論”的著作。我們很容易理解有理數集，實數集都是線性序集(按照通常的順序)。既若有理數(實數)r1大于有理數(實數)r2，而r2大于有理數(實數)r3，則r1大于r3(傳遞性);另外，對任意兩個有理數(實數)r1和r2，則或r1>r2，或r2>r1， 或r1=r2(三歧性)。自然數在“順序”方面的性質，除了上述性質之外，還有一種它所具有的特殊的性質。在陳述這一基本性質之前有必要說明一點，如我們前面所說“自然數”具有3種基本功能，或說三種基本性質，我們在有些時候要說明這些性質之間的聯系，但有時候常常要單獨地討論一種“功能”的性質，在這種情況下，要學會“排除”其他“功能”的干擾，這樣才能較好地理解“一種功能”的“本質”。自然數反映順序的性質中，最基本的性質是“自然數集合的任何一個非空的子集合中，一定有最小的數”。在不包含0的自然數集合中，例如，“所有偶數的集合”中2是最小的;在“既可被5整除又可被7整除的自然數集合”中，35是最小的。并不是所有有“順序”性質的集合都具有這種“特殊的性質”，例如:無論是有理數，還是實數，都具有“傳遞性”和“三歧性”。但是它們同樣不具有自然數所擁有的那種特殊的性質。例如區間(0，1)是有理數集合或實數集合中的非空子集，然而(0，1)中沒有最小的數存在。在這里加一句話，自然數的這種特殊性質，是一類一般的良序集合所擁有的基本性質。自然數集僅是一種特殊的良序集合，這種性質是保證數學歸納法成立的基本性質。一般讀者不必介意這些話。

(2)自然數的計算功能。

對自然數的運算功能:加法和乘法來說，把“0”加入傳統的自然數集合，不僅所有的“運算法則”依舊保持，如對加法和乘法運算都是封閉的，即新自然數集合{0，1，2，…，n，…}中的任何兩個自然數都可以進行加法和乘法運算，而運算結果仍然是自然數。同時保持加法、乘法運算的結合性和交換性，以及乘法對加法的分配性，即n1×(n2+n3)=n1×n2+n1×n3 。不僅于此，特別對加法運算來說，有了“0”這個特殊的數，加法運算變得更完整了，用一句群論的語言來說，新的自然數在加法運算下，成了有零元的加法交換半群了。

既然“0”加盟到自然數集合中，只有好處沒有壞處，為什么我們不應該歡迎“0”作為自然數集合的一個成員呢?

最后，我們再補充一點“集合論”方面的常識。我們都知道無法給集合下一個確切的數學定義。在20世紀初，一大批著名的數學家從不同的角度來彌補“無法給集合下一個嚴格定義”的缺陷，他們建立了“公理集合論”，并由此得到一系列影響現代數學發展的重要結果。在這里我們不可能介紹“公理集合論”的內容，但是我們可以告訴讀者，其基本的思想就是避免“悖論”。在“公理集合論”中，“空集”是第一個被給出的“具體集合”，并由“空集”出發再由其他的一些公理構造出了所有的集合，包括自然數集合、有理數集合、實數集合、復數集合等等。而在構造出的自然數集合中，“空集”就相當于“零”。

除了前面介紹的自然數的3種基本功能之外，所有自然數的集合是中小學生見到的一個最重要的無限集合，沒有零的自然數集合與包括零的自然數集合可以在下面的對應規則下看做是“完全一樣”的:n——n+1。在這個意義下它們是“同構”的。

希望我們的老師和同學更好地理解“0是一個自然數”，這樣做是“理所當然”的，而不僅僅是人為的“規定”。這件事可以幫助我們更好地理解自然數和它的功能。也希望我們的老師和同學養成一個習慣，不僅知道和記住數學的“定義”和“規定”，還應該思考它們“后面”的數學含義。

在過去，所有自然數既是基數，又是序數。而0只是基數不是序數，這就是現在把0規定為自然數，引起大家不安的主要原因。

0歸為自然數沒什么，就如在自然數中除1以外，其他所有數或者是質數，或者是合數;還有除2外，其他質數都是奇數等等，這些我們之所以不以為奇，是因為我們從小就接觸了。同樣地，人們對于0是自然數的問題也會很快就適應的。

三、0.02乘以5的積是一位小數，還是兩位小數

幾位教師的爭論:

(1)我個人認為0.02乘以5的積是一位小數，因為我們一般在計算結果時，習慣上省略末尾的0。特殊情況下，四舍五入得到的近似數如0.10應是兩位小數。

(2)現在不提倡出這種文字游戲類型的題目，對學生的思維發展沒有任何益處。恐怕連出題者自己也說不清楚。

(3)我認為此題并不是文字游戲類型的題目，此題的目的是考查學生對小數乘法計算法則的理解掌握，故不應該通過計算后再進行判斷，而應根據小數乘法計算法則來判斷。我認為是兩位小數，即使通過計算后再進行判斷，也應該是兩位小數。因為結果是0.10，雖然0.10=0.1，但意義不同，計數單位不同。應讓學生看本質(原始數據)而非表象(化簡后的結果)。

(4)我基本同意上面的觀點，但我仍然認為問題的關鍵是題目本身不清楚。簡單告訴孩子們到底問的是什么，也就沒有這些不必要的疑問了。在題目文字上分析來分析去，對學生的數學思維發展毫無益處。

人民教育出版社小學數學課程教材研究開發中心 熊華:

老師們經常問到判斷小數乘法的積的小數位數的問題。比如，7.5×0.2的結果是幾位小數?這里該填一位小數還是兩位小數?

這類問題實際上就是判斷小數乘法中積的小數位數到底應該以計算法則為準，還是要看具體的計算結果的問題。我們認為小數乘法中判斷積的小數位數，應以計算法則為主，至于積的末尾有0的情況是下一步的問題。因此，在出練習題時，最好不要出末尾有0來判斷積的小數位數的題目，因為這樣的考查沒有多大的意義。學生在具體計算時，只要按計算法則先確定積的小數位數，點上小數點，再根據計算的要求去掉小數部分末尾的0即可。

四、0度角是不是銳角

1.0度角是否存在?

觀點(1):如果從角的概念來理解一點引出的兩條射線所組成的部分來看，根本就不可能有0度角這一說(數學上)，也就是只是一條射線，無組成的部分。那么這也就無所謂是不是銳角了。

觀點(2):至于“0度角”的說法更應該理解為一種數學與生活的結合，數學生活化的一種說法，一種對角的延伸理解，不應該是準確的數學提法。其實還有負角度等等。再從角的測量工具量角器上來看，上面的“0”應該是零刻度，而非零度角。

觀點(3):確切地說，0度角是存在的。角在小學階段有兩種直觀表述方式:一種可以說成是靜態的，既從一點引出兩條射線就組成一個角;一種是動態的，既一條射線圍繞其頂點旋轉，可以得到一個角。兩種形式的表述在教材中都有涉及，老師可以在鉆研教材的基礎上，注意及時滲透。那么對于0度和360度的角，利用第二種認識就容易突破了。

觀點(4):0度角應該是存在的，高中課本中角的定義是這樣的:“角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形” 。一條射線的端點是O，它從起始位置OA按逆時針方向旋轉到終止位置OB，形成了一個角α，點O是角的頂點，射線OA、OB分別是角α的始邊、終邊。其中，按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角。如果一條射線沒有作任何旋轉，我們稱它形成了一個0度角。也就是說，0度角可以認為是角的始邊與終邊重合所形成的圖形。

2.0度角是否是銳角?

觀點1:因為小學課本上說“小于90度的角就是銳角”，因此0度角屬于銳角。

觀點2:北師大數學工作室任景業老師的觀點:0度角不屬于銳角，確切地說它屬于象限角。由于在小學范圍內不研究0度角，所以將銳角定義為小于90度的角是銳角是沒有問題的。

(作者單位:大慶市乘新小學 )

編輯/魏繼軍