借助線段巧解一元一次方程的年齡問題

一元一次方程的應用是初中數學數與代數的重要內容，也是數學教學中的一個難點。因為學生不僅要有相應的閱讀能力，還要歸納概括其中的關鍵信息，構建一元一次方程的數學模型。因此必須教會學生分析問題的方法。而一元一次方程的應用經常會出現年齡的問題，題目的情境雖然接近學生的生活經驗，但因為年齡隨著時間在增長，學生經常因為對動態的分析不得法，找不到等量關系或找到錯誤的等量關系，導致解題錯誤。但如果借助線段來分析，不僅會明晰年齡的變化過程，還會將復雜的信息簡單化，從而提高學生的建模能力。

有的年齡問題信息量比較大，學生即使多遍閱讀題目也摸不著頭腦，不會歸納分析。比如北師大版七年級上冊196頁的習題：希臘數學家丟番圖(公元3—4世紀)的墓碑上記載著：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，兩頰長起了細細的胡須；又度過了一生的七分之一，他結婚了；再過5年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他全部年齡的一半；兒子死后，他在極度痛苦中度過了4年，與世長辭了?！?1)他結婚時的年齡是多少?(2)他去世時的年齡是多少?教材編寫者的意圖是想通過數學家特別的墓碑激發學生的興趣和好奇心，從而激發學生熱愛數學的情感和主動的自我發展的愿望。可讀完題目后，學生一臉茫然，竟然還有學生恨恨地說：“什么數學家，真討厭，死后還留下個題目害人?！弊屛殷@訝的是竟然有大部分學生附合?？春⒆觽兊谋憩F，不是故意的，而是數學學習中受挫的真實心情。如果這個題目找不到好的解決方法，讓學生豁然開朗，會給他們以后的數學學習留下很大的陰影，打擊他們學習數學的熱情和信心。面對他們的抱怨，我微笑著說：“這個題目確實有點難，不過我有個好方法大家可以試試，很快就可以解決?！睂W生很期待，我在黑板上畫了一條線段作為丟番圖的年齡x歲，然后，按照題目的每一句話，在線段上標注年齡段。如圖1所示：

復雜的題目信息都被歸納到了一條線段上，學生一目了然，很快找到了等量關系，列出了方程。剛才對這個題目的深惡痛絕全沒有了影子，滿臉的歡喜，嚷嚷著：“原來就這么簡單啊!我們剛才怎么沒有想到啊?”我也釋然，滿臉的輕松，一條線段就可以讓孩子的情緒變化這么快!由此可見，借助線段可以將抽象的年齡段具體化，可以將變化的年齡靜止化，可以將復雜的信息簡單化，從而幫助學生更好的理解題目，降低尋找等量關系的難度。

有的年齡問題雖然信息量較少，但學生對其中的動態的變化分析不到位，或是只關注一個年齡的變化，仍然找不到正確的等量關系。比如北師大版七年級上冊195頁的習題：兒子今年13歲，父親今年40歲，是否有哪一年父親的年齡恰好是兒子年齡的4倍?學生讀完題目后，大喊簡單，立刻動筆，可結果出來大部分同學的方程卻是錯誤的。原因是學生只關注了題目中兒子的年齡變化，忽視了父親的年齡變化，將父親的年齡固定在40歲不變。如果采用線段來表示變化過程，就會避免產生這樣的錯誤。在分析題目時，先畫一條線段，然后設*年后父親的年齡是兒子年齡的4倍，用線段表示x年，線段的兩個端點分別表示今年和x年后，如圖2所示：

采用這樣的線段來分析，可以很明確的表示出父子兩人的年齡同時變化的情況，有助于學生找到正確的等量關系。當學生按照正確的等量關系列出方程后，解出x為-4時，有些困惑，但很快學生就明白了從今年到x年后相當于正方向，出現負數應該向負方向考慮，所以-4應該表示4年前。所以借助線段分析年齡問題，在關注所有變化的年齡的同時，還可以給學生一種正負數意義的暗示，讓學生對解題的結果有恰當合理的解釋。

有的年齡問題信息量不是很大，但涉及到的年齡關系比較復雜，學生讀題后理不清思路，找不到題目信息的脈絡，找不到解題的思維切入點。如這樣一道題目：甲對乙說：“當我像你現在這么大時，你那時的年齡是我現在年齡的一半；當你像我現在這么大時，我們倆的年齡和是63歲。”問甲、乙兩人今年各是多少歲?筆者在處理這個題目時，也是借助了線段來幫助學生理解。以甲現在的年齡x歲作為切入點，用線段的兩個端點分別表示過去和將來的兩個時間，中間一個點表示現在。如圖3所示：

采用這樣的線段幫助學生分析，可以巧妙地將三個時間的年齡表示成線段上的三個點，避免了三個時間的混淆，而且可以直觀地觀察出甲和乙兩人在縱向時間上的年齡差相同，在橫向時間上的年齡差也相同，可以很快幫學生分析清楚甲和乙兩人之間的年齡關系，幫助學生理清解題的脈絡，找到正確的等量關系，建立正確的方程。如利用縱向時間上的年齡差，即甲現在的年齡與過去的年齡差等于乙現在的年齡與過去的年齡差，可得方程：x(3x-63)=x-(63-2x)-1/2x。利用橫向時間上的年齡差，即過去甲和乙的年齡差等于現在甲和乙的年齡差，可得方程：(3x-63)-1/2x=x-[x-(63-2x)]，不論是哪個等量關系，學生根據生活經驗都很容易理解，很快列出方程，而且能體會到兩個方程實質上是相通的。

線段作為解題的一種輔助工具，有著不可替代的巧妙作用。如果教師能夠教會學生借助線段來分析一元一次方程的年齡問題，相信學生不僅會更透徹的理解題意，提高解題的正確率，節省解題時間，更會從中積累一種解決問題的方法和經驗，學會關注細節，捕捉靈感，體驗成功的快樂，獲取學習數學的興趣和信心。