對(duì)稱\\握手問(wèn)題的解題技巧案例分析

在小學(xué)二年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決對(duì)稱、握手問(wèn)題時(shí)存在很多的誤區(qū)和錯(cuò)解，通過(guò)分析、歸納，總結(jié)了應(yīng)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的方法，在此與各位同仁分享。

問(wèn)題1:對(duì)稱圖形中由于教學(xué)過(guò)程中教師對(duì)于“對(duì)稱”含義的不強(qiáng)調(diào)，使得學(xué)生在做題時(shí)產(chǎn)生了誤區(qū)，譬如:

例1:以下圖形有幾條對(duì)稱軸?

學(xué)生錯(cuò)解:有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。

錯(cuò)誤分析:由于教師在教授時(shí)這樣對(duì)學(xué)生說(shuō):沿著對(duì)稱軸能夠完全重合的圖形是對(duì)稱圖形。教師通過(guò)動(dòng)手操作給學(xué)生們展示了長(zhǎng)方形、正方形、圓等這些圖形是對(duì)稱的，并且讓學(xué)生進(jìn)行了動(dòng)手操作。學(xué)生可能下意識(shí)地認(rèn)為了解了“完全重合”的意思，而教師也忽略了對(duì)“完全重合”的進(jìn)一步解釋，于是學(xué)生可能認(rèn)為只要外面能夠完全重合便是對(duì)稱圖形。

在課堂教學(xué)中，我也曾忽略了對(duì)于“完全重合”的深入解釋，直到學(xué)生遇到題目有了這樣的錯(cuò)誤之后，我進(jìn)行了反思，才找到了問(wèn)題的突破口，于是再次將問(wèn)題拋給學(xué)生:“到底怎么樣的圖形是對(duì)稱圖形?”“外面是圓里面是其他圖形的組合圖形一定是對(duì)稱圖形嗎?一定有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸嗎?”經(jīng)過(guò)這樣的反問(wèn)后，學(xué)生猶豫不決，于是我又通過(guò)例題、多媒體展示、動(dòng)手操作，讓學(xué)生一步步了解“對(duì)稱圖形的特征”。最后得到，判斷組合圖形是否是對(duì)稱圖形時(shí)，不僅要看外面圖形，里面圖形也是非常重要的，經(jīng)過(guò)總結(jié)，與學(xué)生們共同總結(jié)得到:

對(duì)于組合圖形，

(1)當(dāng)外面圖形不是對(duì)稱圖形時(shí)(或里面圖形不是對(duì)稱圖形時(shí))，則組合圖形不是對(duì)稱圖形。

例:圖1中盡管里面的長(zhǎng)方形是對(duì)稱圖形，由于外面圖形不是對(duì)稱圖形，因此整個(gè)組合圖形就不是對(duì)稱圖形;圖2中盡管外面的長(zhǎng)方形是對(duì)稱圖形，但由于里面圖形不是對(duì)稱圖形，因此整個(gè)圖形亦不是對(duì)稱圖形。

(2)當(dāng)外面及里面圖形都是對(duì)稱圖形時(shí)，此組合圖形是對(duì)稱圖形，但是組合圖形的對(duì)稱軸條數(shù)要由對(duì)稱軸少的圖形決定。

例: 圖3中盡管外面的圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，由于里面的圖形只有2條對(duì)稱軸，因此整個(gè)組合圖形便只有2條對(duì)稱軸;圖4中由于里面心形只有一條對(duì)稱軸，因此整個(gè)組合圖形也只有一條對(duì)稱軸;圖5中由于正方形只有4條對(duì)稱軸，因此該組合圖形有4條對(duì)稱軸;圖6中由于正方形只有4條對(duì)稱軸，因此也只有4條對(duì)稱軸。

問(wèn)題2:對(duì)于“握手問(wèn)題”的解決策略

簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題，對(duì)于二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是二年級(jí)上冊(cè)最難接受的知識(shí)點(diǎn)。由于學(xué)生處在二年級(jí)水平，對(duì)于“復(fù)雜”的排列組合問(wèn)題很難掌握其解題的技巧。往往學(xué)生會(huì)把問(wèn)題一股腦兒的當(dāng)成是“擺數(shù)”問(wèn)題或者是“握手”問(wèn)題。究其原因是因?yàn)闆](méi)有弄清楚這兩個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)。于是和學(xué)生進(jìn)行了討論、分析，得到“擺數(shù)”與“握手”問(wèn)題不單單是一個(gè)題目而是一類題目，我們要看清楚本質(zhì)，要分清楚生活中另外問(wèn)題其實(shí)其本質(zhì)是“擺數(shù)”或“握手”問(wèn)題，比如“進(jìn)行乒乓球比賽的次數(shù)”就是一個(gè)“握手問(wèn)題”，“拍照”就是一個(gè)“擺數(shù)”問(wèn)題，區(qū)分這兩類問(wèn)題的本質(zhì)是要看清“到底是否與順序有關(guān)”，擺數(shù)類問(wèn)題與順序有關(guān)，而握手類問(wèn)題就與順序無(wú)關(guān)。也給學(xué)生舉了這樣一個(gè)貼近生活的例題:

例2:春節(jié)到了，6個(gè)小朋友之間進(jìn)行送祝福活動(dòng)，如果他們選擇發(fā)短信的方式進(jìn)行送祝福，那么共要發(fā)幾次?如果選擇打電話的方式，又需要打幾次呢?

這個(gè)例題很好讓學(xué)生對(duì)“擺數(shù)”及“握手”問(wèn)題進(jìn)行區(qū)分，“發(fā)短信祝福”是個(gè)擺數(shù)問(wèn)題，而“打電話祝福”是個(gè)與順序無(wú)關(guān)的握手問(wèn)題。

此外，對(duì)于握手問(wèn)題，學(xué)生也很難通過(guò)計(jì)算算清楚次數(shù)，在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生用“畫圖”的方式進(jìn)行“握手”次數(shù)問(wèn)題的教授，結(jié)果發(fā)現(xiàn)2個(gè)人、3個(gè)人、4個(gè)人握手的次數(shù)用畫圖的方式很容易讓學(xué)生接受，如圖所示:

2個(gè)人握手一次3個(gè)人握手3次

4個(gè)人握手6次

這種“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思維使學(xué)生很容易理解和解決問(wèn)題。當(dāng)解決了2、3、4個(gè)人的握手問(wèn)題后，也讓我產(chǎn)生了一個(gè)思考，這種方法是否具有規(guī)律性?怎樣才能使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用到更多的人數(shù)中去?例如5個(gè)人之間進(jìn)行兩兩握手、6個(gè)人進(jìn)行兩兩握手……甚至更多人進(jìn)行握手的時(shí)候，是否也可以用畫圖進(jìn)行解決呢?如果此時(shí)就告訴學(xué)生這類問(wèn)題是以后我們高中要接觸的組合問(wèn)題，必須用C的形式去解決，想必學(xué)生聽(tīng)了肯定是如聽(tīng)天書。考慮到小學(xué)不會(huì)讓學(xué)生計(jì)算復(fù)雜的握手問(wèn)題，于是我給學(xué)生總結(jié)了握手問(wèn)題畫圖的方法，告知學(xué)生當(dāng)用畫圖的方法解決握手問(wèn)題時(shí)，必須將點(diǎn)圍成封閉的(首尾相接)的圖形，然后將每?jī)牲c(diǎn)之間畫線，最后數(shù)數(shù)線有幾條，就表示握了多少次!

例如5個(gè)人進(jìn)行握手時(shí)，就把它畫成如下所示:

5個(gè)人握手10次

“握手”問(wèn)題用畫圖的方法解決有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對(duì)今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一定的幫助。在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法去解決問(wèn)題。

以上兩個(gè)案例，由一題所影射出來(lái)的結(jié)論，教師可以嘗試著與學(xué)生一起作總結(jié)，那樣不僅讓學(xué)生慢慢地嘗試去歸納一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，更重要的是讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得可持續(xù)發(fā)展。如果學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上能得到持續(xù)性發(fā)展，那將有利于他今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。