一道習題引起的討論

在一次模擬考試中有這樣一道題目:

題目:如圖1所示，一傾角為37°的光滑斜面與一豎直半圓軌道在最低點對接，對接處用光滑小圓弧連接，一可視為質點的小球從斜面上的A點由靜止釋放，小球恰好通過圓軌道最高點并且垂直地撞在斜面上的B點，求AB的距離。(已知半圓軌道的半徑為R，tan37°=34)

圖1

原解:試卷給出的答案如下:

小球恰好通過軌道最高點，所以小球在C點的速度為vC=gR

小球垂直撞在B點，所以小球在B點的速度為vB=vCsin37°=53vC

設AB的高度為h，小球從A到B機械能守恒，則

12mv²B=mgh，∴h=v²B2g

∴AB的距離為AB=hsin37°=12554R

圖2

某同學用另一種方法計算如下:

小球從C到B做平拋運動，時間為t，

則vCvy=gRgt=tan37°，

即t=4vC3g

∴CB的水平距離為x=vCt=4v²C3g=43R

設斜面高度為H，A到C由動能定理得

mg(H-2R)=12mv²C

∴H=v²C2g+2R=5R2

∴斜面的水平距離為L=Htan37°=103R

∴AB的水平距離為l=L-x=2R

∴AB的距離為AB=hcos37°=52R

兩種方法計算的結果不同，經反復檢查解答沒有問題，至此，引起學生的激烈討論，提出許多不同的觀點，課堂里倒有點沸騰了。

那么，問題在那里呢?

本題中，平拋運動的初速度、高度均是確定的，

小球有可能垂直撞到37°的斜面上嗎?順著這個思路進行驗證。

設斜面傾角為θ，平拋運動的時間為t，則

tanθ=vCvy=gRgt

由幾何關系得tanθ=2R-yx=2R-12gt²

gRt

∴gRgt=2R-12gt²gRt

解得t=2Rg

∴tanθ=vCvy=gRgt=22

∴斜面的傾角為θ=arctan22≠37°

所以在本題中，小球是不可能垂直撞到37°的斜面上，導致上述兩種計算結果不一致。當傾角為θ=arctan22時，用上述兩種方法計算的結果是一致的。

教學反思:這場討論盡管是由于數據的設置所引起的，但從它所產生的效果卻遠遠超過了試題本身，因為一下課就有學生跟我說，通過這道題我們對機械能守恒定律、平拋運動規律有了更透徹的理解，通過這道習題可以得到以下啟示:1.在平常的教學中要透徹分析物理過程和狀態，培養學生的科學態度，使學生掌握分析物理問題的方法和解題步驟，可以避免很多不該出現的錯誤，通過對習題的正誤解答剖析能夠提高學生分析和解答問題的能力;2.在實際的教學中，我們選題、編題、講評也應該科學規范，解題結果無疑應該正確無誤，而且還應起到舉一反三、觸類旁通之效，所以從這個角度說，這道習題倒是一道優秀的例題。

(責任編輯 易志毅)