用幾何畫板解決二次函數(shù)的教學(xué)難點

“幾何畫板”具有豐富的圖像功能，只要給出函數(shù)表達(dá)式，“幾何畫板”能畫出任何一個初等函數(shù)的圖像，如果要演示函數(shù)圖像的動態(tài)變化，可以作出含若干個參數(shù)的函數(shù)圖像，通過參數(shù)數(shù)值的變化，可動態(tài)展現(xiàn)函數(shù)圖像的變化，讓學(xué)生通過觀察圖形的變化與參數(shù)值的變化關(guān)系，直觀地了解函數(shù)的性質(zhì).

以二次函數(shù)解析式y(tǒng)=a(x-b)²+c為例，解析式中系數(shù)的變化直接影響函數(shù)曲線的變化，這是學(xué)生學(xué)習(xí)時遇到的難點，而利用“幾何畫板”恰好能動態(tài)演示這些變化，幫助學(xué)生輕松解決這一學(xué)習(xí)難點.

一、用幾何畫板演示二次函數(shù)y=ax²(a≠0)中二次項a的變化對函數(shù)曲線變化的影響

用幾何畫板作一個將二次項系數(shù)a設(shè)計成一個可調(diào)節(jié)的參數(shù)的二次函數(shù)圖像，通過a的變化動態(tài)展示圖像的變化規(guī)律.

具體步驟如下:

(1)在菜單欄上選擇[圖表]菜單，在下拉菜單中選擇[定義坐標(biāo)系]命令，在畫板上創(chuàng)建坐標(biāo)系.

(2)在x軸上構(gòu)造一個點A，過A作x軸的垂線，在垂線上構(gòu)造一個任意點B.

選取B點，在菜單欄上選擇[度量]菜單，在下拉菜單中選擇[縱坐標(biāo)]命令，求出B點的縱坐標(biāo)yb.

(3)在x軸上構(gòu)造一任意點C，選擇點C，在菜單欄上選擇[度量]菜單，在下拉菜單中選擇[橫坐標(biāo)]命令，求出C點的橫坐標(biāo)xc.

(4)在菜單欄中選擇[度量]菜單，在下拉菜單中選擇[度量]命令，在彈出的計算器中依次選定yb、乘號*、xc、乘方符號^、數(shù)字2后，單擊[確定]按鈕，計算出yb#8226;x²c的值.

(5)依次選取xc和ya#8226;x²c，在[圖表]菜單中選擇[繪制點]，繪制出函數(shù)曲線上的點D.

(6)同時選擇點C和點D，選擇[構(gòu)造]菜單下的[軌跡]命令，構(gòu)造出動態(tài)變化的二次曲線y=ax²圖像，如下圖.

圖1

圖2

圖1是拖動a點使a>0時的圖像，圖2是拖動a點使a<0時的圖像.

作圖原理:將點a的縱坐標(biāo)作為二次函數(shù)y=ax²的二次項系數(shù)a來作圖，當(dāng)拖動點a時，a的縱坐標(biāo)發(fā)生變化，即a發(fā)生變化，即可動態(tài)演示a的值對函數(shù)圖像的變化的影響.

根據(jù)以上原理，如圖1或圖2，在幾何畫板中拖動動點a，改變y=ax²中a的大小，可觀察到函數(shù)曲線的開口變化，通過觀察圖像演示，得出結(jié)論:

1.函數(shù)y=ax²(a≠0)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，由x²≥0可知當(dāng)a>0時，函數(shù)值y≥0;當(dāng)a<0時，函數(shù)值y≤0.

2.函數(shù)y=ax²(a≠0)的圖像是以原點為頂點，以y軸為對稱軸的一條拋物線，當(dāng)a>0時，開口向上;當(dāng)a<0時，開口向下.

3.通過觀察動態(tài)圖像可以看到a>0時，當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小;當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大.a<0時，當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小;當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小.合在一起比較，|a|越大，圖像開口越窄;|a|越小，圖像開口越寬.

二、用幾何畫板演示二次函數(shù)y=(x-b)²中參數(shù)b的變化對函數(shù)曲線變化的影響

用幾何畫板作一個將系數(shù)b設(shè)計成一個可調(diào)節(jié)的參數(shù)的二次函數(shù)圖像，通過b的變化動態(tài)展示圖像的變化規(guī)律.

作圖步驟如下:

1.在菜單欄上選擇[圖表]菜單，在下拉菜單中選擇[定義坐標(biāo)系]命令，在畫板上創(chuàng)建坐標(biāo)系.

2.在x軸上構(gòu)造一個點A，過A作x軸的垂線，在垂線上構(gòu)造一個任意點b.

3.選取b點，在菜單欄上選擇[度量]菜單，在下拉菜單中選擇[縱坐標(biāo)]命令，求出b點的縱坐標(biāo).

4.在x軸上構(gòu)造一任意點C，選擇點C，在菜單欄上選擇[度量]菜單，在下拉菜單中選擇[橫坐標(biāo)]命令，求出C點的橫坐標(biāo)xc.

5.在菜單欄中選擇[度量]菜單，在下拉菜單中選擇[度量]命令，在彈出的計算器中設(shè)置表達(dá)式(xc-yb)²后，單擊[確定]按鈕，計算出(xc-yb)²的值.

6.依次選取xc和(xc-yb)²，在[圖表]菜單中選擇[繪制點]，繪制出函數(shù)曲線上的點D.

7、同時選擇點C和點D，選擇[構(gòu)造]菜單下的[軌跡]命令，構(gòu)造出動態(tài)變化的二次曲線y=(x-b)²圖像，如下圖.

作圖原理:將點b的縱坐標(biāo)作為二次函數(shù)y=(x-b)²中系數(shù)b的數(shù)值來作圖，當(dāng)拖動b點時，點b的縱坐標(biāo)發(fā)生變化，即系數(shù)發(fā)生變化，即可動態(tài)演示系數(shù)的變化對函數(shù)變化的影響.

根據(jù)以上原理，在幾何畫板中拖動動點b，改變函數(shù)y=(x-b)²中b的數(shù)值，觀察圖像的變化很容易得到如下結(jié)論:

1.當(dāng)b的數(shù)值改變時，函數(shù)曲線沿著x軸平移.當(dāng)b>0時，曲線在y軸右方;當(dāng)b<0時，曲線在y軸左方;當(dāng)b=0時，y軸是對稱軸.

2.通過與y=x²的圖像進(jìn)行比較，畫y=(x-b)²的圖像可以先畫出y=x²的圖像，然后再左右平移|b|個單位即可.

三、用幾何畫板演示二次函數(shù)y=a(x-b)²+c中參數(shù)a、b、c的變化對函數(shù)曲線變化的影響

用幾何畫板作將參數(shù)a，b，c設(shè)計成可調(diào)節(jié)參數(shù)的二次函數(shù)圖像，通過改變a，b，c的數(shù)值，觀察函數(shù)的變化.

作圖步驟如下:

1.在菜單欄上選擇[圖表]菜單，在下拉菜單中選擇[定義坐標(biāo)系]命令，在畫板上創(chuàng)建坐標(biāo)系.

2.在x軸上構(gòu)造三個點A、B、C，過A、B、C三點分別作x軸的垂線，在三條垂線上分別構(gòu)造三個任意點a、b、c.

3.同時選取a，b，c三點，在菜單欄上選擇[度量]菜單，在下拉菜單中選擇[縱坐標(biāo)]命令，求出a，b，c三點的縱坐標(biāo)ya，yb，yc.

4.在菜單欄中選擇[度量]菜單，在下拉菜單中選擇[度量]命令，在彈出的計算器中設(shè)置表達(dá)式y(tǒng)a(xd-yb)²+yc后，單擊[確定]按鈕，計算出ya(xd-yb)²+yc的值.

5.依次選取xd和ya(xd-yd)²+yc，在[圖表]菜單中選擇[繪制點]，繪制出函數(shù)曲線上的點E.

6.同時選擇點C和點E，選擇[構(gòu)造]菜單下的[軌跡]命令，構(gòu)造出動態(tài)變化的二次曲線y=a(x-b)²+c圖像，如下圖.

作圖原理:將點a，b，c三點的縱坐標(biāo)分別作為二次函數(shù)y=a(x-b)²+c中系數(shù)a，b，c的值來作圖，當(dāng)拖動動點a，b，c時，a，b，c的縱坐標(biāo)發(fā)生變化，即二次函數(shù)y=a(x-b)²+c中系數(shù)a，b，c的值發(fā)生變化，即可動態(tài)演示a，b，c的值發(fā)生變化時函數(shù)的變化情況.

通過在“幾何畫板”中觀察演示，可直觀地看到a，b，c三個參數(shù)的變化對y=a(x-b)²+c圖像的影響:

參數(shù)a影響曲線的開口方向，當(dāng)a>0時，函數(shù)曲線開口向上，當(dāng)a<0時，函數(shù)曲線開口向下.

參數(shù)b使曲線左右平移，當(dāng)b>0時，函數(shù)曲線向右移動b個單位;當(dāng)b<0時，函數(shù)曲線向左移動b個單位.

參數(shù)c使圖像上下平移，當(dāng)c>0時，函數(shù)曲線向上移動c個單位;當(dāng)c<0時，函數(shù)曲線向下移動c個單位.

四、小結(jié)

利用“幾何畫板”可以給我們提供一個進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗的環(huán)境，如有條件可讓學(xué)生在老師的指導(dǎo)下進(jìn)行作圖實驗，在作圖過程中觀察圖像的變化，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)活動的參與者，積極探索不斷構(gòu)建自身的知識體系，充分利用“幾何畫板的”的豐富的圖像動態(tài)演示功能，尋找“幾何畫板”與課堂教學(xué)的結(jié)合點，使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂更生動，解決教學(xué)難點更輕松.

參考文獻(xiàn):

[1]陶維林.幾何畫板實用范例教程[M].清華大學(xué)出版社，2006.

[2]周旭.二次函數(shù)探究式學(xué)習(xí)[J].中小學(xué)信息技術(shù)教育，2008，1.

(責(zé)任編輯 金 鈴)