數學中的動與靜

動與靜是相對的，這是物理運動學的相對論，如果在解數學題中也能運用好這一思想，有時候也可以起到事半功倍之效.

【例1】 大霧天，有一艘船在江面上行駛，從船上掉下一物，1小時后才發現，問，若返回去尋找，需要多少時間才能找到?(假定:1.船來回的路線是完全一致的;2.掉下的物品是浮在水面的)

分析:如果本題完全按數學方法解答，已知量很少，學生會望而卻步，有無從下手之感.實際上考慮起來也確實有點繁，船開始時是順水還是逆水不知道，船速水速都不知道，這些都要假定，然后分類討論，再根據相遇問題和追及問題來解決.

解:設需要t小時才能找到掉下的物品，船在靜水中的速度為a米/秒，水流的速度為b米/秒，

(1)設開始船是順水而下，返回是逆水而上，則依題意得:

(a+b)×1=b×(1+t)+(a-b)×t，

解得:t=1.

(2)設開始船是逆水而上，返回是順水而下，則依題意得:

(a-b)×1=(a+b)×t-b×(1+t)，

解得:t=1.

綜合(1)(2)可知，無論開始是順水還是逆水，返回尋找都要1小時才能找到掉下的物品.

但是，如果融入動與靜的相對觀念，那么這題就很簡單了，即:把江水看成是靜止的，那么船去花了1個小時，返回當然也是1小時!也許有人不能理解，怎么能這樣呢?那么我們構建這樣一個模型，也許就不難理解了:有人(水中的船)在行進中的火車(類似流動的江水)上掉了一物品，1小時后發現即返回尋找，需要多少時間找到遺失的物品?

【例2】 已知，如圖1，在∠MON的兩條邊上分別有動點A、B，OP、BP分別是∠MON和∠ABN的角平分線，當A、B分別在OM、ON上滑動時，請你說明∠P與∠OAB的關系.

圖1

分析:像這樣的題，學生看到A、B是動點就怕，就會感覺很繁，其實這里的“動”根本就可以不考慮.

因為∠ABN=∠OAB+∠AOB=∠OAB+2∠POB=2∠PBN，

而∠PBN=∠PON+∠P，

所以2∠PON+2∠P=∠OAB+2∠POB，

即2∠P=∠OAB.

【例3】 有兩個正方形ABCD和正方形OPQR，其中O是正方形ABCD的中心，已知正方形ABCD的面積為S，當正方形OPQR繞O點旋轉時，求兩個正方形重疊部分的面積(旋轉過程中，正方形OPQR的頂點O、P、Q、R只有點O在正方形ABCD內部).

分析:由于一個正方形的旋轉，很多學生認為，重疊部分的面積是變化的而無法求解，其實，仔細分析發現，在旋轉的過程中，只有三種可能，即:

對于圖1和圖2，很明顯重疊部分的面積是正方形ABCD的面積的四分之一，即14S.關鍵是求圖3的面積，其實，也不難發現圖3可以分割拼補成圖1(如圖4).

圖4

即△OKF≌△OJE，那么重疊部分的面積也就是14S，這樣，重疊部分的面積與正方形OPQR的動與靜無關.

(責任編輯 金 鈴)