例談二次函數在閉區間上的最值問題

二次函數是高中數學中最基本也最重要的內容之一，而二次函數在某一區間上的最值問題，是初中二次函數內容的繼續，隨著區間的確定或變化，以及系數中參變數的變化，它又成為高考數學的熱點.

一、求定二次函數在定區間上的最值

當二次函數的區間和對稱軸都確定時，要將函數式配方，再根據對稱軸和區間的關系，結合函數在區間上的單調性，求其最值.

【例1】 已知2x²≤3x，求函數f(x)=x²-x+1的最值.

解:由已知2x²≤3x，可得0≤x≤32，即函數f(x)是定義在區間[0，32]上的二次函數，將二次函數配方得f(x)=(x-12)²+34，其圖象開口向上，且對稱軸方程x=12∈[0，32]，故f(x)max=f(32)=74，f(x)min=f(12)=34.

二、求動二次函數在定區間上的最值

當二次函數的區間確定而對稱軸變化時，應根據對稱軸在區間的左、右兩側和穿過區間這三種情況分別討論，再利用二次函數的示意圖，結合其單調性求解.

【例2】 已知二次函數f(x)=ax²+4ax+a²-1在區間[-4，1]上的最大值是5，求實數a的值.

解:將二次函數配方得f(x)=a(x+2)²+a²-4a-1，其對稱軸方程為x=-2，頂點坐標為(-2，a²-4a-1)，圖象開口方向由a決定，很明顯，其頂點橫坐標在區間[-4，1]上.若a<0，則函數圖象開口向下，當x=-2時，函數取得最大值5，即f(-2)=a²-4a-1=5，解得a=2-10(a=2+10舍去);若a>0，則函數圖象開口向上，當x=1時，函數取得最大值5，即f(1)=5a+a²-1=5，解得a=1(a=-6舍去).綜上討論，函數f(x)在區間[-4，1]上取得最大值5時，a=2-10或a=1.

三、求定二次函數在動區間上的最值

當二次函數的對稱軸確定而區間在變化時，只需對動區間能否包含拋物線的頂點的橫坐標進行分類討論.

【例3】 已知函數f(x)=-x²+8x，求f(x)在區間[t，t+1]上的最大值g(t).

解:函數f(x)=-x²+8x=-(x-4)²+16，其對稱軸方程為x=4，頂點坐標為(4，16)，其圖象開口向下.

(1)當頂點橫坐標在區間[t，t+1]右側時，有t+1<4，即t<3，當x=t+1時，g(t)=f(t+1)=-(t+1)²+8(t+1)=-t²+6t+7.

(2)當頂點橫坐標在區間[t，t+1]上時，有t≤4≤t+1，即3≤t≤4，當x=4時，g(t)=f(4)=16.

(3)當頂點橫坐標在區間[t，t+1]左側時，有t>4，當x=t時，g(t)=f(t)=-t²+8t.

綜上，g(t)=-t²+6t+7，當t<3時;16，當3≤t≤4時;-t²+8t，當t>4時.

四、求動二次函數在動區間上的最值

當二次函數的區間和對稱軸均在變化時，亦可根據對稱軸在區間的左、右兩側及穿過區間三種情況討論，并結合其圖形和單調性處理.

【例4】 已知y²=4a(x-a)(a>0)，且當x≥a時，S=(x-3)²+y²的最小值為4，求參數a的值.

解:將y²=4a(x-a)代入S的表達式得S=(x-3)²+4a(x-a)=[x-(3-2a)]²+12a-8a².

S是關于x的二次函數，其定義域為x∈[a，+∞)，對稱軸方程為x=3-2a，頂點坐標為(3-2a，12a-8a²)，圖象開口向上.若3-2a≥a，即02=4，此時a=1或a=12.若3-2a1，則當x=a時，Smin=[a-(3-2a)]²+12a-8a²=4，此時a=5(a=1舍去).

綜上討論，參變數a的取值為a=1或a=12或a=5.

(責任編輯 金 鈴)