例析物理極值問題解答方法

求極值是物理解題中常遇到的問題，因同學們不太熟悉求極值的方法和技巧，所以求極值成為同學們解題中的難點問題。通常解決物理中的極值問題有兩種方法，數學方法和物理方法，數學方法側重數學技巧，物理方法側重物理原理。下面以兩個例題說明兩種方法的解題技巧。

圖1

【例1】 如圖1所示，質量為m的小球用長為L的輕質細線拴住，懸掛在O點，將小球拉到與O點成水平的A點，讓細線繃緊，然后由靜止開始釋放小球，則小球從A運動到最低點B的過程中，重力對小球的最大功率為多大?

一、數學方法

設小球從A點由靜止釋放，經過一段時間小球的速度為v，此時細線與水平面的夾角為θ。

根據機械能守恒定律有:

mgLsinθ=12mv2 ①

重力對小球做功的瞬時功率為:

圖2

P=mgvcosθ ②

由①、②式得:

P=mg2gLsinθ×cosθ ③

根據數學知識

P=mg2gLsinθ×cos2θ ④

當sinθ=33，cosθ=23時 ⑤

重力對小球的功率最大:

Pmax=23mg3gL ⑥

二、物理方法

圖3

圖4

圖5

根據機械能守恒定律有:

mgLsinθ=12mv2 ①

根據物理知識將小球的速度分解為水平速度vx和豎直速度vy

vy=vcosθ ②

重力對小球做功的功率為:

P=mgvy ③

當vy最大時，重力對小球的功率也為最大。

設細線對小球的拉力為F，將小球受到的外力F和mg沿水平和豎直方向正交分解，當vy最大時必有:

Fsinθ=mg ④

小球又做圓周運動，根據牛頓第二定律得:

F-mgsinθ=mv2L ⑤

圖6

由①、④、⑤式得:

sinθ=33，cosθ23 ⑥

由⑥、②、③得:

Pmax=23mg3gL ⑦

【例2】 如圖6所示，長為L的輕桿兩頭固定質量均為m的A、B兩個小球，靜止放置在均光滑的豎直墻壁和地面之間，輕桿與地面之間的夾角為60°，現釋放輕桿讓A沿墻壁開始下滑，當輕桿和墻壁之間的夾角為θ時，A球剛好對墻壁沒有壓力，求此時的夾角θ和B球的速度。

一、數學方法

圖7

設A球剛好對墻壁沒有壓力時，A球的速度為vA

，B球的速度vB，因輕桿長度不變，

所以:

vAsinθ=vBcosθ ①

根據機械能守恒定律得:

mg(Lsin60°-Lsinθ)=12mv2A+12mv2B ②

根據題意當A球剛好對墻壁沒有壓力時，輕桿剛好對A、B兩個小球沒有作用力，B球的速度則達到最大值。

由①、②式得:

vB=2g(Lsin60°×sin2θ-Lsin3θ) ③

由數學知識得當sinθ=33時，vB有最大值

則:θ=arcsin33 ④

vB最大值為

vB=gL33 ⑤

二、物理方法

設A球剛好對墻壁沒有壓力時，A球的速度為vA，B球的速度vB，因輕桿長度不變，所以:

vAsinθ=vBcosθ ①

根據機械能守恒定律得:

mg(Lsin60°-Lsinθ)=12mv2A+12mv2B ②

根據題意，當A球剛好對墻壁沒有壓力時，輕桿剛好對A、B兩個小球沒有作用力，此時B球的加速度為0，是慣性系，A球以B球為圓心做圓周運動，根據牛頓第二定律有:

mgsinθ=m(vAcosθ+vBsinθ)2L ③

由①、②、③式得:

sinθ=33 ④

則:θ=arcsin33 ⑤

由①、③、④式得:

vB=gL33 ⑥

(責任編輯 易志毅)