幾何概型常見題型歸類

幾何概型的特點是實驗的基本事件是無限多個，每一個基本事件發生的可能性是相等的，并且分布是均勻的.處理幾何概型問題不僅要明確概念，掌握公式，更主要的是及時把問題轉化為相應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率.

正確選擇恰當的幾何概型決定了問題解決的成敗，下面是常見的幾何概型問題.

一、與角度有關的幾何概型

【例1】 如圖1所示，設A為圓周上一定點，在圓周上等可能

地任取一點B與A連結，求弦長超過半徑的2倍的概率.

分析:在圓周上任取一點是隨機的且是等可能的，符

合幾何概型的條件.關鍵是選擇恰當的幾何量，確定

好事

件發生的分界點.

圖1

解:設圓的半徑為r，當弦長恰好為2r時，它所對

的圓心角恰為90°，則要使弦長大于2r，圓心角必大于90°且小于270°.所以所求事件的概率為270°-90°360°=12.

點評:本題是一個與角度有關的幾何概型，關鍵是建立好幾何圖形與概率問題的聯系.

二、與長度有關的問題

【例2】 如圖2所示，在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P.則△PBC的面積大于S4

的概率是().

圖2

A.14 B.12

C.34 D.23

分析:如圖2所示，設△ABC的BC邊上的高為AD，在AB邊上任取一點P，由點P作PE⊥BC，垂足為E，則易知當PE>14AD時，△PBC的面積大于S4，即當BPBA>14時，△PBC的面積大于S4.由幾何概型的公式，得P(△PBC的面積大于S4)=341=34.故答案選C.

點評:解決本題的關鍵是將面積的比轉化為長度型的幾何概率問題.

三、與面積有關的問題

圖3

【例3】 如圖3所示，以正方形ABCD的邊長為直徑作半圓，

重疊部分為花瓣.現在向該正方形區域內隨機地投擲一飛鏢，

假定飛鏢落在正方形區域的每一點是等可能，并且飛鏢一定落

在正方形區域內.求飛鏢落在花瓣內的概率.

分析:飛鏢落在正方形區域的每一點是等可能，符合幾何概

型的條件.落在每一個點都可以看成一個基本事件，此時所有

的基本事件組合起來是面積，故應轉化為用面積計算.

P=S花瓣S正方形=12πr²×4-(2r)²(2r)²=π-22.故飛鏢落在花瓣內的概率為π-22.

點評:此題是用面積計算，關鍵是正確算出花瓣面積.

四、與體積有關的問題

【例4】 一個球形容器的半徑為3cm，里面裝有純凈水，因為實驗人員不小心混入了一個病毒，從中任取1mL水，含有病毒的概率是多少?

分析:病毒在水中的分布可以看作是隨機的，從中取得1mL水可看做構成事件的區域，球形容器內的水的體積可看做實驗的所有結果構成的區域，可用體積比公式計算其概率.

解析:根據題意，得球形容器內的水的體積為43π×33=36π(cm3)=36π(mL).所以從中任取1mL水，含有病毒的概率為136π≈0.00884.

點評:用體積計算概率時，要注意所求概率與取出體積的關系.事實上，水中含有病毒的概率只與杯中水的體積有關，因而只需要求得取出水樣的體積與原有水的體積的比即可.

圖4

鞏固練習:

1.如圖4所示，在平面直角坐標系內，

射線OT是60°角的終邊，任作一條射線OA，

求射線OA落在∠xOT內的概率.

圖5

2.一只螞蟻在如圖5所示的地板磚(除

顏色不同外，其余都相同)上爬來爬去，求它最

后停在陰影地板磚上的概率.

3.某路公共汽車5分鐘一班準時到達某車站，求任一人在該車站等車時間少于3分鐘的概率(假定車到來后每人都能上).

4.在1L高產夏小麥種子里面混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10mL，含有麥銹病種子的概率是多少?

(責任編輯 金 鈴)