求解二面角的六種常規方法

求解二面角問題是高考的熱點問題，在近幾年的高考中幾乎每一年、每一套高考題的立體幾何問題都涉及到求二面角的大小問題.然而通過對學生考卷的分析，我們發現這一問題的得分率卻并不理想.因此，本文總結了常見的六種求解二面角的方法，希望能給部分讀者以幫助.

1.定義法

是指過二面角的棱上任一點在兩個面內分別作垂直于棱的直線，則兩直線所構成的角即為二面角的平面角，繼而在平面中求出其平面角的一種方法.

【例1】 如圖1，空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，對角線AC=a，BD=2a，求二面角A—BD—C的大小.

圖1

解:取BD的中點為O，分別連接AO、CO，

∵AB=AD，BC=CD.

∴AO⊥BD，CO⊥BD.

∴∠AOC為二面角A—BD—C的平面角.

∵AB=AD=a，BD=2a，

∴AO=22a.

∵BC=CD=a，BD=2a，∴OC=22a.

在△AOC中，OC=22a，OA=22a，AC=a，OA2+OC2=AC2，

∴∠AOC=90°，即二面角A—BD—C為直二面角.

2三垂線法

是指利用三垂線定理，根據“與射影垂直，則也與斜線垂直”的思想構造出二面角的平面角，繼而求出平面角的方法.

【例2】 如圖2，二面角α-AB-β的棱AB上有一點C，線段CDα，CD=100，∠BCD=30°，點D到平面β的距離為253，求二面角α-AB-β的度數.

圖2

解:過D作DE⊥β于E，DF⊥AB于F，連接EF.

∵DF⊥AB，EF是DF在β內的射影，

∴AB⊥EF(三垂線定理).

∴∠DFE為二面角為α-AB-β的平面角.

在Rt△DEF中，DF=12CD=50，DE=253，

∴sin∠DFE=DEDF=25350=32.

∴∠DFE=60°.即二面角α-AB-β的度數為60°.

3.垂面法

是指用垂直于棱的平面去截二面角，則截面與二面角的兩個面必有兩條交線，這兩條交線構成的角即為二面角的平面角，繼而再求出其平面角的一種方法.

【例3】 如圖3，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB，SB=BC，E是SC的中點，DE⊥SC交AC于D，求二面角E-BD-C的大小.

圖3

解:∵BS=BC，SE=EC，

∴SC⊥BE，又∵SC⊥DE，

∴SC⊥面BDE.∴SC⊥BD.

又∵BD⊥SA，∴BD⊥面SAC.

∴∠EDC為二面角E-BD-C的平面角.

設SA=a，則SB=BC=2a.

∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC.

∴BC⊥SB.

∴SC=2a，∠SCD=30°.

∴∠EDC=60°，

即二面角E-BD-C的大小為60°.

4.面積射影法

所謂面積射影法，就是根據三角形及其在某一個平面上的射影面積之間的關系，利用cosθ=S射S來計算二面角的一種方法(其中θ為二面角).

【例4】 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，K∈BB1，M∈CC1，且BK=14BB1，CM=34CC1，求平面AKM與ABCD所成角的大小.

圖4

解:連結AC，則由題意可知，

△ABC是△AKM在平面AC上的射影.

設平面AKM與ABCD所成角為θ，

則cosθ=S射S=S△ABCS△AKM.

令正方體的棱長為4，

∴S△ABC=12AB#8226;AC=12×4×4=8.

在△AKM中，AK=1²+4²=17，

AM=4²+4²+3²=41，

KM=4²+2²=20.

由海倫公式可知S△AKM=221，

∴cosθ=421，θ=arccos421.

5.法向量法

法向量法是通過求與二面角垂直的兩個向量所成的角，繼而利用這個角與二面角的平面角相等或互補的關系，求出二面角的一種方法.

【例5】 如圖5，過正方形ABCD的頂點A作PA⊥平面ABCD，設PA=AB=ɑ，求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小.

圖5

解:以A為射點建立直角坐標系(如圖5所示)，

則P(0，0，a)，D(0，a，0)，C(a，a，0).

設平面PCD的法向量為n=(x，y，z)，

則n#8226;PD=0，n#8226;CD=0.

即(x，y，z)#8226;(0，a，-a)=0，(x，y，z)#8226;(-a，0，0)=0.

∴y=-z，x=0.

即n=(0，1，-1).

又AD成為平面PAB的法向量，

而cos〈AD，n〉=(0，a，0)#8226;(0，1，-1)a#8226;2=22，

∴AD與n所成的角為45°.

因此平面PAB和平面PCD所成的角為45°.

6.垂線法

是指先利用待定系數法確定垂足，再利用公式求出二面角的大小.

【例6】 如圖6，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一點，PE⊥EC，已知PD=2，CD=2，AE=12，求

(1)異面直線PD與EC的距離;

(2)二面角E-PC-D的大小.

圖6

解:(1)略.

(2)以D為原點，DA、DC、DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.

作DG⊥PC，可設G(0，y，z).

由DG#8226;PC=0得(0，y，z)#8226;(0，2，-2)=0，即z=2y.

故可取DG=(0，1，2).

作EF⊥PC于F，設F(0，m，n)，則EF=(-32，m-12，n).

由EF#8226;PC=0，得(-32，m-12，n)#8226;(0，2，-2)=0，即2m-1-2n=0.

又由F在PC上得n=-22m+2，故m=1，n=22，EF=(-32，12，22).

因EF⊥PC，DG⊥PC，

故二面角E-PC-D的平面角θ的大小為向量EF與DG的夾角.

故cosθ=DG#8226;EF|DG|#8226;|EF|=22，∴θ=π4.

故二面角E-PC-D的大小為π4.

(責任編輯 金 鈴)