“一鳥三石”話解題

例題

已知過點(diǎn)P(9，3)的直線m與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)間距離的最小值為 .

分析:本題是一道常規(guī)的解析幾何題，從不同角度思考，有下面三種常見解法:

解法一(點(diǎn)斜式):可設(shè)直線AB的方程為:y-3=k(x-9)(k<0)，

令x=0，則y=3-9k，得到B(0，3-9k);

令y=0，則x=9k-3k，得到A(9k-3k，0).

則AB²=OA²+OB²=(9k-3k)²+(3-9k)²=(9k-3)²(1+k²)k²，

(AB²)′

=[(9k-3)²(1+k²)]′k²-(9k-3)²(1+k²)2kk4，

令(AB²)′=0，則k3=-39=-3-32，∴k=-13.

當(dāng)k<-13時(shí)，(AB²)′<0;當(dāng)-13

(|AB|²)′>0，

∴當(dāng)k=-13時(shí)，AB²有最小值:(-9×13-3)2+(-93-3)²13=192.

故當(dāng)且僅當(dāng)k=-13時(shí)，A、B兩點(diǎn)間距離的最小值為83.

解法二(截距式):設(shè)A(a，0)，B(0，b)(a，b>0)，

則直線AB:xa+yb=1.又直線過P(9，3)，

∴9a+3b=1，變形得a=9bb-3，①

又AB²=a²+b². ②

①代入②得AB²=81b²+(b-3)²b²(b-3)².

再利用導(dǎo)數(shù)求解(略).

解法三(三角函數(shù)):設(shè)直線AB與x軸的夾角θ(0<θ<π2)，

則AB=BP+PA=3sinθ+9cosθ，AB′=-3cosθsin²θ+9sinθcos²θ，

令A(yù)B′=0，∴-3cosθsin²θ+9sinθcos²θ=0，

∴9sin3θ=3cos3θ，又sin²θ+cos²θ=1，

得sinθ=±12(舍去負(fù)值)，∴θ=π6，

當(dāng)0<θ<π6時(shí)，AB′<0;當(dāng)π6<θ<π2時(shí)，AB′>0.

∴當(dāng)θ=π6時(shí)，AB有最小值為83.

變式 過點(diǎn)P(1，2)的直線與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn).(1)求△AOB的面積的最小值;

(2)求PA#8226;PB的最小值;(3)求OA+OB的最小值.

解:(1)設(shè)過點(diǎn)P(1，2)直線為:y-2=k(x-1)(k<0)，

∴A(k-2k，0)，B(0，2-k).

∴S△=12OA#8226;OB=12×k-2k×(2-k)=2+(-2k-k2)≥2+2(-2k)#8226;(-k2)=4.

當(dāng)且僅當(dāng)-2k=-k2，即k=-2時(shí)，Smin=4.

∴△AOB的面積的最小值為4.(此題用例題的解法二也可以)

(2)設(shè)過P(1，2)的直線與x軸的夾角為θ(0<θ<π2).

則PA=2sinθ，PB=1cosθ，

∴PA#8226;PB=2sinθ#8226;1cosθ=2sinθcosθ=4sin2θ≥4.

當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1，即θ=π4時(shí)，(PA#8226;PB)min=4.

∴PA#8226;PB的最小值為4.(此題用例題的解法三較方便!)

(3)

設(shè)過點(diǎn)P(1，2)的直線與x軸的夾角為θ(0<θ<π2)，

則OA=1+2tanθ，OB=2+tanθ，∴OA+OB=3+2tanθ+tanθ≥3+22.

當(dāng)且僅當(dāng)2tanθ=tanθ，即tanθ=2時(shí)，(OA+OB)min=3+22.(本題亦可用點(diǎn)斜式法和截距式法來解)

我們要善于挖掘例題潛在的功能，使學(xué)生通過一個(gè)題目的學(xué)習(xí)學(xué)到更多的知識(shí)，特別要注重培養(yǎng)學(xué)生一題多解、一題多變的能力.

(責(zé)任編輯 金 鈴)