構造解析幾何模型巧解最值

構造是一種重要的數學思想，它是創造力、想象力的較高表現形式.本文就結合一類求最值問題構造解析幾何模型，以展現構造的巧妙之處.

【例1】 求f(α，β)=(cosα-5cosβ)²+(sinα+5-2sinβ)²的最大值和最小值.

解:將設w=(cosα-5cosβ)²+(sinα+5-2sinβ)²，則將w構造為動點P(cosα，sinα+5)與動點Q(5cosβ，2sinβ)的距離，又點P的軌跡為⊙A:x²+(y-5)²=1，點Q的軌跡為橢圓E:x²25+y²4=1，從而w可構造為圓⊙A上的點與橢圓E上的點之間的距離.

圖1

設橢圓上任意一點M(x，y)，則|MA|=x²+(y-5)².

由x²25+y²4=1可得x²=25(1-y²4)，其中y∈[-2，2]，

∴|MA|=25(1-y²4)+(y-5)²=-21y²4-10y+50=-214(y+2021)²+115021(y∈[-2，2]).

顯然，當y=-2021時，|MA|max=115021，當y=2時，|MA|min=3.

所以，wmax=(115021+1)²，wmin=(3-1)²=4.

【例2】 已知⊙O:x²+y²=1和定點A(2，1)，由⊙O外一點P(a，b)向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|.(1)求實數a，b間的等量關系;(2)若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點，試求半徑取最小值時⊙P的方程.

解:(1)連接OP，因Q為切點，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|².

圖2

又|PQ|=|PA|，故|PQ|²=|PA|²，

即(a²+b²)-1²=(a-2)²+(b-1)²，

化簡得實數a，b間的等量關系為:2a+b-3=0.

(2)由(1)知將動點P構造為直線L:2x+y-3=0上的動點，顯然直線L與⊙O是相離關系.

這樣要使以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點且半徑取最小，

只需OP⊥L于P且⊙P與⊙O外切時滿足條件.

此時直線OP的方程為:y=12x，即x-2y=0.

由方程組2x+y-3=0，x-2y=0得x=65，y=35.

即滿足條件的圓P的圓心為(65，35).

此時|OP|=|2×0+0-3|5=355，

∴Rmin=|OP|-1=355-1.

∴滿足條件的圓P的方程為:(x-65)²+(y-35)²=(355-1)².

【例3】 設圓滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線L:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

圖3-1

解:設圓的圓心為P(x，y)，半徑為r，則點P到x軸、y軸的距離分別為|y|、|x|.

∵題設圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°，

∴圓P截x軸的弦長為2r，故r²=2y².

又∵圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r²=x²+1，從而得2y²-x²=1.

∴將動圓圓心P構造為雙曲線E:2y²-x²=1上的動點，這樣只需要求出雙曲線E到直線L的距離的最小值.

設與直線L平行的且與雙曲線E相切的直線L1的方程為:x-2y+c=0，

由2y²-x²=1，x-2y+c=0，消去x得2y²-4cy+1+c²=0，

∴Δ=16c²-8(1+c²)=0.

∴c=±1.

當c=1時，x=1，y=1，此時r²=2y²=2;

當c=-1時，x=-1，y=-1，此時r²=2y²=2.

∴所求圓的方程是:(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2.

【例4】 若函數f(x)=k+2+x存在區間[a，b]，使f(x)在[a，b]上值域是[a，b]，求k的最大值.

圖4

解:顯然函數f(x)在定義域內單調遞增，

∴由題意可得

a=k+2+a，b=k+2+b.

故a、b是方程x=k+2+x，即方程x+k+2=x

的兩個不等實數根.

于是構造直線L:y=x-k-2與拋物線E:y²=x(x≥0)有兩個不同的交點.要求k的最大值，只需求符合條件的直線在y軸上截距的最小值.所以當直線L過點(0，0)時，kmax=-2.

【例5】 求函數f(x)=cosx-2sinx(x∈(0，π))的最大值.

圖5

解:設A(sinx，cosx)，B(0，2)，x∈(0，π)，顯然A在

單位圓x²+y²=1(x>0)的右半圓上運動，

將f(x)的值構造為直線AB的斜率，因此當直線AB與⊙O右半圓相切時，f(x)有最大值.

∴f(x)max=-3.

以上列舉了通過構造兩點間距離、直線的斜率、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，利用解析幾何中的公式、曲線的性質等解決問題，在此過程中大大簡化了解題過程，取得了意想不到的解題效果.

(責任編輯 金 鈴)